sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a : Étude du prix P proposé par le fournisseur

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }P\left(x\right)$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x+300}{x+100}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{x}}=1$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }P\left(x\right)=1$. Pour une quantité de fruits commandés suffisament grande, le prix du kilogramme de fruits sera voisin de 1 euro.

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2. Montrer que $P\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{200}{{\left(x+100\right)}^2}}$ sur $\left[100;+\infty \right[$.

   P est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $P={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $P\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$. Avec pour tout réel x appartenant à $\left[100;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+300& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=x+100& \text{;}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$$

   D'où pour tout réel x appartenant à $\left[100;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{ccc}P\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(x+100\right)-\left(x+300\right)}{{\left(x+100\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-200}{{\left(x+100\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $P\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[100;+\infty \right[$ par $P\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-200}{{\left(x+100\right)}^2}}$

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3. Dresser le tableau de variations de la fonction P.

   Pour tout réel $x\ne -100$, ${\left(x+100\right)}^2>0$. Donc sur l'intervalle $\left[100;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{-200}{{\left(x+100\right)}^2}}<0$. Par conséquent, la fonction P est strictement décroissante. D'où le tableau des variations de P :

   x	100		$+\infty$
   $P\left(x\right)$	2		1

partie b : Étude de la somme S à dépenser par le supermarché

On appelle $S\left(x\right)$ la somme en euros à dépenser par le supermarché pour une commande de x kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de $P\left(x\right)$ euros par kilogramme).
Cette somme est donc égale à $S\left(x\right)=xP\left(x\right)$ pour $x\in \left[100;+\infty \right[$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }S\left(x\right)$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }P\left(x\right)=1$ donc par produit des limites,$\underset{x\to +\infty }{\lim }xP\left(x\right)=+\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }S\left(x\right)=+\infty$.

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2. Montrer que pour tout x appartenant à $\left[100;+\infty \right[$ : $S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+200x+\mathrm{30\; 000}}{{\left(x+100\right)}^2}}$.

   La fonction S est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $$\begin{array}{ccc}S\prime \left(x\right)=P\left(x\right)+xP\prime \left(x\right)& \text{Soit}& S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x+300}{x+100}}+x\times {\displaystyle \frac{-200}{{\left(x+100\right)}^2}}\hfill \\ & \iff & S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+300\right)\left(x+100\right)-200x}{{\left(x+100\right)}^2}}\hfill \\ & \iff & S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+300x+100x+\mathrm{30\; 000}-200x}{{\left(x+100\right)}^2}}\hfill \\ & \iff & S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+200x+\mathrm{30\; 000}}{{\left(x+100\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $S\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[100;+\infty \right[$ par $S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+200x+\mathrm{30\; 000}}{{\left(x+100\right)}^2}}$

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3. Montrer que pour tout x appartenant à $\left[100;+\infty \right[$ : $S\left(x\right)=x+200-\mathrm{20\; 000}\times {\displaystyle \frac{1}{x+100}}$.

   Pour tout réel $x\ne -100$, $$\begin{array}{ccc}x+200-\mathrm{20\; 000}\times {\displaystyle \frac{1}{x+100}}& =& {\displaystyle \frac{\left(x+200\right)\left(x+100\right)-\mathrm{20\; 000}}{x+100}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+200x+100x+\mathrm{20\; 000}-\mathrm{20\; 000}}{x+100}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+300x}{x+100}}\hfill \\ & =& x\times {\displaystyle \frac{x+300}{x+100}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x appartenant à $\left[100;+\infty \right[$ : $S\left(x\right)=x+200-\mathrm{20\; 000}\times {\displaystyle \frac{1}{x+100}}$.

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4. En déduire une primitive T de S sur $\left[100;+\infty \right[$.

   Une primitive T de S sur $\left[100;+\infty \right[$ est définie par $T\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+200x-\mathrm{20\; 000}\times \ln \left(x+100\right)$.

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partie c : Étude de différentes situations

Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

1. Le magasin dispose d'un budget de 900 euros pour la commande de fruits.
   Préciser, au kilogramme près, le poids maximum de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget. On justifiera la réponse.

   $S\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+200x+\mathrm{30\; 000}}{{\left(x+100\right)}^2}}$. Or le polynôme du second degré $x^2+200x+\mathrm{30\; 000}$ n'a pas de racines.
   Donc pour tout réel $x\ne -100$, ${\displaystyle \frac{x^2+200x+\mathrm{30\; 000}}{{\left(x+100\right)}^2}}>0$. Il s'ensuit, que la fonction S est strictement croissante.

   Par conséquent, le poids maximum (au kilogramme près), de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget est le plus grand entier solution de l'inéquation $S\left(x\right)⩽900$. Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{x^2+300x}{x+100}}⩽900& \iff & {\displaystyle \frac{x^2+300x}{x+100}}-900⩽0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2+300x-900x-\mathrm{90\; 000}}{x+100}}⩽0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-600x-\mathrm{90\; 000}}{x+100}}⩽0\hfill \end{array}$$

   Cherchons les racines du polynôme du second degré $x^2-600x-\mathrm{90\; 000}$ avec $a=1$, $b=-600$ et $c=-\mathrm{90\; 000}$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. Soit : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=\mathrm{360\; 000}+\mathrm{360\; 000}=\mathrm{720\; 000}\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{600-600\sqrt{2}}{2}}=300-300\sqrt{2}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2{\displaystyle \frac{600+600\sqrt{2}}{2}}=300+300\sqrt{2}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe du quotient ${\displaystyle \frac{x^2-600x-\mathrm{90\; 000}}{x+100}}$ sur l'ntervalle $\left[100;+\infty \right[$ :

   x	100		$300+300\sqrt{2}$		$+\infty$
   Signe de ${\displaystyle \frac{x^2-600x-\mathrm{90\; 000}}{x+100}}$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   La valeur approchée à l'unité près par défaut de $300+300\sqrt{2}$ est 724.

   Le magasin peut commander au maximum 724 kilogrammes de fruits.

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2. On rappelle que la valeur moyenne M d'une fonction f définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ est donnée par la formule $M={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   Le supermarché estime acheter régulièrement entre 400 et 600 kilogrammes de fruits à ce fournisseur.
   Déterminer la valeur moyenne de S sur $\left[400;600\right]$ et donner le résultat arrondi à l'unité.

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{600-400}}{\displaystyle {\int }_{400}^{600}S\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{200}}\times {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+200x-\mathrm{20\; 000}\times \ln \left(x+100\right)\right]}_{400}^{600}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{200}}\times \left[\left(\mathrm{300\; 000}-\mathrm{20\; 000}\ln \left(700\right)\right)-\left(\mathrm{160\; 000}-\mathrm{20\; 000}\ln \left(500\right)\right)\right]\hfill \\ & =& 700-100\ln \left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)\approx 666\hfill \end{array}$$

   Arrondie à l'unité, la valeur moyenne de S sur $\left[400;600\right]$ est 666.

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