Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Un supermarché souhaite acheter des fruits à un fournisseur. Ce fournisseur propose des prix au kilogramme, dégressifs en fonction du poids de fruits commandés.

Pour une commande de x kilogrammes de fruit, le prix Px en euros du kilogramme de fruits est donné par la formule : Px=x+300x+100 pour x100+.

Par exemple si le supermarché achète 300 kilogrammes de fruits, ces fruits lui sont vendus P300=600400=1,5 euros le kilogramme.
Dans ce cas, le supermarché devra payer 300×1,5=450 euros au fournisseur pour cette commande.

partie a : Étude du prix P proposé par le fournisseur

  1. Calculer limx+Px.

    limx+x+300x+100=limx+xx=1

    Ainsi, limx+Px=1. Pour une quantité de fruits commandés suffisament grande, le prix du kilogramme de fruits sera voisin de 1 euro.


  2. Montrer que Px=-200x+1002 sur 100+.

    P est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. P=uv d'où P=uv-uvv2. Avec pour tout réel x appartenant à 100+ : ux=x+300;ux=1vx=x+100;vx=1

    D'où pour tout réel x appartenant à 100+ :Px=x+100-x+300x+1002=-200x+1002

    Ainsi, P est la fonction définie sur l'intervalle 100+ par Px=-200x+1002


  3. Dresser le tableau de variations de la fonction P.

    Pour tout réel x-100, x+1002>0. Donc sur l'intervalle 100+, -200x+1002<0. Par conséquent, la fonction P est strictement décroissante. D'où le tableau des variations de P :

    x100 + ∞
     Px

    2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1

partie b : Étude de la somme S à dépenser par le supermarché

On appelle Sx la somme en euros à dépenser par le supermarché pour une commande de x kilogrammes de fruits (ces fruits étant vendus par le fournisseur au prix de Px euros par kilogramme).
Cette somme est donc égale à Sx=xPx pour x100+.

  1. Calculer limx+Sx.

    limx+x=+ et limx+Px=1 donc par produit des limites,limx+xPx=+

    Ainsi, limx+Sx=+.


  2. Montrer que pour tout x appartenant à 100+ : Sx=x2+200x+30 000x+1002.

    La fonction S est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : Sx=Px+xPxSoitSx=x+300x+100+x×-200x+1002Sx=x+300x+100-200xx+1002Sx=x2+300x+100x+30 000-200xx+1002Sx=x2+200x+30 000x+1002

    Ainsi, S est la fonction définie sur l'intervalle 100+ par Sx=x2+200x+30 000x+1002


  3. Montrer que pour tout x appartenant à 100+ : Sx=x+200-20 000×1x+100.

    Pour tout réel x-100, x+200-20 000×1x+100=x+200x+100-20 000x+100=x2+200x+100x+20 000-20 000x+100=x2+300xx+100=x×x+300x+100

    Ainsi, pour tout réel x appartenant à 100+ : Sx=x+200-20 000×1x+100.


  4. En déduire une primitive T de S sur 100+.

    Une primitive T de S sur 100+ est définie par Tx=x22+200x-20 000×lnx+100.


partie c : Étude de différentes situations

Les questions suivantes peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

  1. Le magasin dispose d'un budget de 900 euros pour la commande de fruits.
    Préciser, au kilogramme près, le poids maximum de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget. On justifiera la réponse.

    Sx=x2+200x+30 000x+1002. Or le polynôme du second degré x2+200x+30 000 n'a pas de racines.
    Donc pour tout réel x-100, x2+200x+30 000x+1002>0. Il s'ensuit, que la fonction S est strictement croissante.

    Par conséquent, le poids maximum (au kilogramme près), de fruits que le magasin peut commander sans dépasser son budget est le plus grand entier solution de l'inéquation Sx900. Soit x2+300xx+100900x2+300xx+100-9000x2+300x-900x-90 000x+1000x2-600x-90 000x+1000

    Cherchons les racines du polynôme du second degré x2-600x-90 000 avec a=1, b=-600 et c=-90 000. Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac. Soit : Δ=360 000+360 000=720 000

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=600-60022=300-3002etx2=-b+Δ2aSoitx2600+60022=300+3002

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe du quotient x2-600x-90 000x+100 sur l'ntervalle 100+ :

    x100 300+3002 + ∞
    Signe de x2-600x-90 000x+100 0||+ 

    La valeur approchée à l'unité près par défaut de 300+3002 est 724.

    Le magasin peut commander au maximum 724 kilogrammes de fruits.


  2. On rappelle que la valeur moyenne M d'une fonction f définie et continue sur un intervalle ab est donnée par la formule M=1b-aabfxdx.
    Le supermarché estime acheter régulièrement entre 400 et 600 kilogrammes de fruits à ce fournisseur.
    Déterminer la valeur moyenne de S sur 400600 et donner le résultat arrondi à l'unité.

    1600-400400600Sxdx=1200×[x22+200x-20 000×lnx+100]400600=1200×300 000-20 000ln700-160 000-20 000ln500=700-100ln75666

    Arrondie à l'unité, la valeur moyenne de S sur 400600 est 666.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.