Baccalauréat mai 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Le glacier d'Aletsch, classé à l'UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes, situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône.
Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,6 km.
Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20 ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900.
Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous. On note t la durée, en années, écoulée depuis 1900, et r le recul correspondant, mesuré en kilomètres.

(Source : Mesures déduites de : The Swiss Glaciers, Yearbooks of the Glaciological Commission of the Swiss)
Année de mesure 190019201940196019802000
Durée t écoulée (depuis 1900)020406080100
Recul r (en km)00,30,611,62,3

Par exemple, en 1940 (t=40), le recul du glacier par rapport à 1900 a été de 0,6 km : la longueur du glacier était donc de 25,6-0,6=25km.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10− 3 près.

partie a : Étude d'un modèle affine

  1. Tracer le nuage de points dans le repère donné en annexe (Durée t en abscisse, distance r en ordonnée).

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de r en fonction de t, puis tracer cette droite dans le repère précédent.

    Une équation de la droite d'ajustement affine de r en t par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : r=0,023t-0,162 (coefficients arrondis arrondis au millième).


  3. À partir du modèle affine obtenu précédemment, estimer par le calcul :

    1. Le recul puis la longueur du glacier en 2011.

      En 2011 t=111, le recul du glacier par rapport à 1900 est estimé à : 0,023×111-0,162=2,391

      La longueur du glacier est donc estimée à : 26,6-2,391=23,209

      En 2011, on peut estimer que le recul du glacier par rapport à 1900 sera d'environ 2,4 km, la longueur du glacier est 23,2 km.


    2. L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).

      La disparition du glacier correspond à un recul r=25,6 d'où la durée t est solution de l'équation 0,023t-0,162=25,6t=25,6+0,1620,0231120

      Avec ce modèle, on peut estimer que le glacier aura disparu en 3020.


partie b : Utilisation d'un modèle exponentiel

Le résultat du 3. b. de la partie A étant peu en accord avec la plupart des autres études, les glaciologues considèrent un autre modèle : le modèle exponentiel.
On pose y=lnr. On rappelle que lnr désigne le logarithme népérien du recul r .

  1. Recopier puis compléter le tableau suivant sur votre copie (pour permettre le calcul de y, la durée 0 de l'année 1900 a été exclue du tableau).

    Durée t écoulée (à partir de 1900)20406080100
    y=lnr− 1,204− 0,51100,470,833
    1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de y en fonction de t.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : y=0,025t-1,599 (coefficients arrondis arrondis au millième).


    2. Déduire que rt=e0,025t-1,599.

      Pour tout réel r>0 , y=lnrr=expy d'où r=e0,025t-1,599

      Une estimation du recul r du glacier en fonction t est rt=e0,025t-1,599.


  2. En utilisant le modèle obtenu précédemment, estimer par le calcul :

    1. Le recul puis la longueur du glacier en 2011.

      r111=e0,025×111-1,5993,241 et 25,6-3,241=22,359

      Avec ce modèle, on peut estimer qu'en 2011, le recul du glacier par rapport à 1900 sera d'environ 3,2  km, la longueur du glacier est 22,4 km.


    2. L'année de disparition du glacier (arrondir à l'unité).

      t est solution de e0,025t-1,599=25,60,025t-1,599=ln25,6t=ln25,6+1,5990,025194

      Avec ce modèle, on peut estimer que le glacier aura disparu en 2094.



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