sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a : Étude d'un site

Un site internet comporte 8 pages, notées A, B, C, D, E, F, G, H reliées entre elles suivant le graphe ci-dessous.

Ainsi, par exemple, à partir de la page A on peut directement accéder aux pages B, C et D. Par contre, la page A ne permet pas d'accéder directement à la page F.

1. Le technicien souhaite tester les liens de pages. En partant de la page A, est-il possible de trouver un parcours passant une seule fois par tous les liens de pages ? Justifier la réponse.

   Chaîne eulérienne …

2. Pour marquer les changements de page, l'administrateur du site souhaite que deux pages reliées aient des couleurs différentes.
   On note N le nombre minimum de couleurs nécessaires.

   1. Donner  un sous-graphe  complet  d'ordre maximal.

   2. En utilisant la question 2. a. et à l'aide d'un algorithme, montrer, que $N=3$.

partie b : Étude de propagation d'un virus d'un site à l'autre

Le site précédent, appelé site № 1, propose un unique lien vers un site partenaire, appelé Site № 2, sans retour possible. De même, le site № 2 propose un unique lien vers un site № 3, sans retour possible et ainsi de suite ... (voir le schéma ci-dessous) :

Site № 1 → Site № 2 → Site № 3 → … → Site № n → Site № n + 1 …

Le site № 1 vient d'être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre les sites pour essayer de se propager, les autres sites n'étant pas encore touchés.
Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu'à 80 %.

On note :

• V l'état « le site est infecté par le virus »
• S l'état « le site est sain (non infecté par le virus) ».

On a dessiné ci-dessous le graphe probabiliste traduisant les risques de propagation du virus d'un site au suivant :

1. Justifier la valeur 0 indiquée sur le graphe probabiliste précédent, puis recopier et compléter ce graphe sur votre copie.

   Si le site n'est pas infecté par le virus, la probabilité de propager le virus au site suivant est nulle.
   Les antivirus ne sont efficaces qu'à 80 % donc si le site est infecté par le virus, la probabilité de ne pas propager le virus au site suivant est 0,8.

2. Préciser la matrice de transition M de ce graphe (première ligne pour V, deuxième ligne pour S)

3. Pour tout entier naturel non nul n, on note :
   $P_n$ la probabilité que le n-ième site soit infecté, $Q_n$ la probabilité que le n-ième site soit sain et $X_n=\left(\begin{array}{cc}{P}_n& Q_n\end{array}\right)$.
   On a donc $X_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)$ (traduisant que le site № 1 est infecté) et $X_{n+1}=X_{n}M$.

   1. En utilisant la relation $X_{n+1}=X_{n}M$, montrer que $P_{n+1}=\mathrm{0,2}{P}_n$.

   2. En déduire $P_n$ en fonction de n.

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(P_n\right)$ lorsque n tend vers plus l'infini.

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