Baccalauréat novembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit u une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $] - \infty; 3 [$ . On note $u'$ la dérivée de u.
On donne ci-dessous la courbe $C_{u}$ représentant la fonction u.
L'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$ sont deux asymptotes à $C_{u}$ .
La droite d'équation $y = e$ est tangente à la courbe $C_{u}$ en son point d'abscisse 1.
La courbe $C_{u}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse − 1 et lui est tangente au point d'abscisse 2.

Cet exercice est un « Vrai-Faux ». Voici huit affirmations. Pour chacune d'entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune justification.
Chaque bonne réponse apporte 0,5 point.

1. $u' (1) = e$ .
  La droite d'équation $y = e$ est tangente à la courbe $C_{u}$ en son point d'abscisse 1 donc $u' (1) = 0$
  L'affirmation $u' (1) = e$ est fausse.
2. $\lim_{x \to - \infty} u (x) = 0$ .
  L'axe des abscisses est une asymptote à $C_{u}$ en − ∞ donc $\lim_{x \to - \infty} u (x) = 0$
3. $\lim_{x \to 3} u (x) = + \infty$ .
  La droite d'équation $x = 3$ est une asymptote à $C_{u}$ et d'après le graphique, $\lim_{x \to 3} u (x) = + \infty$
4. L'équation $u (x) = 1$ admet exactement trois solutions.
  La droite d'équation $y = 1$ coupe la courbe $C_{u}$ en trois points donc :
  L'équation $u (x) = 1$ admet exactement trois solutions.
Soit f la fonction définie et dérivable sur $] - 1; 2 [$ telle que $f = \ln (u)$ . On note $f'$ sa fonction dérivée.
1. Sur l'intervalle $] - 1; 0 [$ , f change de signe.
  Sur l'intervalle $] - 1; 0 [$ , la fonction u est croissante et l'équation l'équation $u (x) = 1$ admet une solution α.
  Par conséquent, la fonction $f = \ln (u)$ est croissante sur l'intervalle $] - 1; 0 [$ et $\begin{matrix} - 1 < x ⩽ α & \Leftrightarrow & 0 < u (x) ⩽ 1 \\ \Leftrightarrow & \ln [u (x)] ⩽ \ln 1 \\ \Leftrightarrow & f (x) ⩽ 0 \end{matrix}$
  Sur l'intervalle $] - 1; 0 [$ , f change de signe.
2. $f' (1) = \frac{1}{e}$ .
  $\begin{matrix} f = \ln (u) & d'où & f' (1) = \frac{u' (1)}{u (1)} = 0 \end{matrix}$
  L'affirmation $f' (1) = \frac{1}{e}$ est fausse.
3. L'équation $f (x) = 2$ n'admet aucune solution.
  Sur l'intervalle $] - 1; 2 [$ , le maximum de la fonction u est égal à e donc pour tout réel $x \in] - 1; 2 [$ , $f (x) ⩽ \ln (e) \Leftrightarrow f (x) ⩽ 1$
  L'équation $f (x) = 2$ n'admet aucune solution.
4. $\lim_{x \to - 1} f (x) = 0$ .
  $\lim_{x \to - 1} u (x) = 0$ et $\lim_{X \to 0} \ln (X) = - \infty$ donc par composition des limites, $\lim_{x \to - 1} f (x) = - \infty$
  L'affirmation $\lim_{x \to - 1} f (x) = 0$ est fausse.

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