sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Quelle est la probabilité que Franck joue le deuxième jour ?

      Le premier jour, Franck a décidé de ne pas jouer et s'il n'a pas joué un jour, la probabilité qu'il joue le lendemain est de 0,9.

      La probabilité que Franck joue le deuxième jour est égale à 0,9.

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   2. Quelle est la probabilité qu'il ne joue pas le deuxième jour ?

      La probabilité que Franck ne joue pas le deuxième jour est égale à 0,1.

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2. On note D l'évènement : « Franck a joué » et E l'évènement : « Franck a su résister ».

   1. Modéliser cette situation par un graphe probabiliste.

      Si Franck a joué un jour, la probabilité qu'il ne le fasse pas le lendemain est de 0,6. D'où $p_{D_n}\left(E_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_{D_n}\left(D_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$.
      Si Franck n'a pas joué un jour, la probabilité qu'il joue le lendemain est de 0,9. D'où$p_{E_n}\left(D_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}$ et $p_{E_n}\left(E_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

   2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

      La matrice de transition associée à ce graphe est $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)$

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3. Soit n un entier naturel non nul. Soient $D_n$ l'évènement : « Franck a joué le n-ième jour » et $E_n$ l'évènement : « Franck a su résister le n-ième jour ».
   L'état probabiliste lors du n-ième jour est alors donné par la matrice ligne $P_n=\left(\begin{array}{cc}{d}_n& e_n\end{array}\right)$ où $d_n$ désigne la probabilité de l'évènement $D_n$ et $e_n$ celle de l'évènement $E_n$ . On a ainsi $P_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$.

   1. Déterminer $P_2$.

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste le deuxième jour est $$\begin{array}{ccc}{P}_2=P_1\times M& \text{Soit}& P_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)\hfill \end{array}$$

      $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)$

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   2. Donner la relation liant $P_{n+1}$ et $P_n$.

      Pour tout entier naturel n non nul, $\begin{array}{c}{P}_{n+1}=P_n\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)\end{array}$

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $d_{n+1}=-\mathrm{0,5}{d}_n+\mathrm{0,9}$.

      Pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{ccc}{P}_{n+1}=P_n\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}{d}_{n+1}& e_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{d}_n& e_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}\\ \mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}{d}_{n+1}& =& \mathrm{0,4}{d}_n+\mathrm{0,9}{e}_n\\ e_{n+1}& =& \mathrm{0,6}{d}_n+\mathrm{0,1}{e}_n\end{array}\hfill \end{array}$$

      D'où pour tout entier naturel n non nul, $d_{n+1}=\mathrm{0,4}{d}_n+\mathrm{0,9}{e}_n$ avec $d_n+e_n=1$ donc $$d_{n+1}=\mathrm{0,4}{d}_n+\mathrm{0,9}\times \left(1-d_n\right)\iff d_{n+1}=-\mathrm{0,5}{d}_n+\mathrm{0,9}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $d_{n+1}=-\mathrm{0,5}{d}_n+\mathrm{0,9}$.

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4. Pour tout entier naturel n non nul, on pose $u_n=d_n-\mathrm{0,6}$.

   1. Démontrer que la suite u est une suite géométrique. Préciser sa raison et la valeur de son premier terme.

      Pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{ccc}{u}_{n+1}=d_{n+1}-\mathrm{0,6}& \iff & u_{n+1}=-\mathrm{0,5}{d}_n+\mathrm{0,9}-\mathrm{0,6}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=-\mathrm{0,5}{d}_n+\mathrm{0,3}\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=-\mathrm{0,5}\times \left(d_n-\mathrm{0,6}\right)\hfill \\ & \iff & u_{n+1}=-\mathrm{0,5}{u}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, $u_{n+1}=-\mathrm{0,5}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison − 0,5.

      Or $u_1=d_1-\mathrm{0,6}$ Soit $u_1=-\mathrm{0,6}$

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $-\mathrm{0,5}$ et de premier terme $u_1=-\mathrm{0,6}$.

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   2. Exprimer alors $u_n$ puis $d_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $-\mathrm{0,5}$ et de premier terme $u_1=-\mathrm{0,6}$ alors pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{ccc}{u}_n=-\mathrm{0,6}\times {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^{n-1}& \iff & u_n={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,6}}{-\mathrm{0,5}}}\times {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^{n-1}\times \left(-\mathrm{0,5}\right)\hfill \\ & \iff & u_n=\mathrm{1,2}\times {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^n\hfill \end{array}$$

      $\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par $u_n=\mathrm{1,2}\times {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^n$. Par conséquent pour tout entier naturel n non nul, $d_n=\mathrm{0,6}+\mathrm{1,2}\times {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^n$.

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   3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{d}_n$ et interpréter ce résultat.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(-\mathrm{0,5}\right)}^n=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,6}+\mathrm{1,2}\times {\left(-\mathrm{0,5}\right)}^n=\mathrm{0,6}$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{d}_n=\mathrm{0,6}$. Au bout d'un certain temps (deux semaines environ), pour chaque jour la probabilité que Franck joue est égale à 0,6.

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