sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Franck Geek est adepte de jeux vidéo en ligne. Afin de préserver son temps de travail scolaire, il essaye de se modérer. Il constate que :

• s'il a joué un jour, la probabilité qu'il ne le fasse pas le lendemain est de 0,6 ;
• s'il n'a pas joué un jour, la probabilité qu'il joue le lendemain est de 0,9.

Le jour de la rentrée (premier jour), Franck a décidé de ne pas jouer.

1. 1. Quelle est la probabilité que Franck joue le deuxième jour ?

   2. Quelle est la probabilité qu'il ne joue pas le deuxième jour ?

2. On note D l'évènement : « Franck a joué » et E l'évènement : « Franck a su résister ».

   1. Modéliser cette situation par un graphe probabiliste.

   2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe.

3. Soit n un entier naturel non nul. Soient $D_n$ l'évènement : « Franck a joué le n-ième jour » et $E_n$ l'évènement : « Franck a su résister le n-ième jour ».

   L'état probabiliste lors du n-ième jour est alors donné par la matrice ligne $P_n=\left(\begin{array}{cc}{d}_n& e_n\end{array}\right)$ où $d_n$ désigne la probabilité de l'évènement $D_n$ et $e_n$ celle de l'évènement $E_n$ . On a ainsi $P_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$.

   1. Déterminer $P_2$.

   2. Donner la relation liant $P_{n+1}$ et $P_n$.

   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $d_{n+1}=-\mathrm{0,5}{d}_n+\mathrm{0,9}$.

      $P_n=\left(\begin{array}{cc}{d}_n& e_n\end{array}\right)$ avec $d_n+e_n=1$

4. Pour tout entier naturel n non nul, on pose $u_n=d_n-\mathrm{0,6}$.

   1. Démontrer que la suite u est une suite géométrique. Préciser sa raison et la valeur de son premier terme.

   2. Exprimer alors $u_n$ puis $d_n$ en fonction de n.

   3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{d}_n$ et interpréter ce résultat.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(-\mathrm{0,5}\right)}^n=0$

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