Baccalauréat novembre 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du sud

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une substance médicamenteuse est injectée par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent l'injection, la substance est éliminée par les reins.
La quantité $q_{i}$ de substance présente dans le sang ( $q_{i}$ en milligrammes) à l'instant $t_{i}$ ( $t_{i}$ en heures) a été mesurée par des prises de sang toutes les deux heures.

$t_{i}$ (en heures)	0	2	4	6	8
$q_{i}$ (en mg)	9,9	7,5	5,5	3,9	3

partie a - Modélisation par une fonction affine

Le nuage de points associé à la série $(t_{i}; q_{i})$ , représenté dans un repère orthogonal, est donné sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d'ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième.
Tracer la droite (D) sur la feuille annexe.
En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, donner une estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures.

partie b - Autre modélisation

On pose $y_{i} = \frac{\ln (q_{i})}{\ln (10)}$ .

Compléter le tableau de l'annexe. On arrondira les valeurs au centième.
1. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la forme $y = a t + b$ de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés. On arrondira a à 10^{− 3} et b à l'unité.
2. Montrer que l'expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est de la forme : $q (t) = B e^{- A t}$ (on donnera l'arrondi au centième de A et la valeur de B arrondie à l'unité).
Soit f la fonction définie sur l'intervalle $[0; 12]$ par : $f (t) = 10 e^{- 0,15 t}$ .
1. Étudier le sens de variation de la fonction f.
2. On suppose que la quantité q de substance présente dans le sang à l'instant t (t exprimé en heures) est donnée par $q (t) = f (t)$ pour t variant de 0 à 12 heures.
  Calculer à 10^{− 1} près la quantité de substance présente dans le sang au bout de 12 heures.
3. En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question 3 de la partie A, dire lequel de ces deux modèles vous paraît le mieux adapté à la situation.

partie b - Valeur moyenne

Soit F la fonction définie sur l'intervalle $[0; 12]$ par $F (t) = - \frac{200}{3} e^{- 0,15 t}$ . Montrer que F est une primitive de f sur $[0; 12]$ .
Soit $I = \int_{0}^{10} f (t) d t$ . Calculer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près.
En déduire, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection.
Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a < b$ .
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $[a; b]$ , le nombre : $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

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