sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a - Modélisation par une fonction affine

Le nuage de points associé à la série $\left(t_i;q_i\right)$, représenté dans un repère orthogonal, est donné sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

1. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) d'ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur des coefficients arrondie au centième.

   La droite (D) d'ajustement affine de q en t par la méthode des moindres carrés a pour équation $q=-\mathrm{0,87}t+\mathrm{9,44}$.

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2. Tracer la droite (D) sur la feuille annexe.

3. En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, donner une estimation de la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures.

   $$-\mathrm{0,87}\times 12+\mathrm{9,44}=-1$$ Une quantité négative n'a pas de sens.

   En supposant que ce modèle reste valable pendant 12 heures, la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures est nulle.

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partie b - Autre modélisation

On pose $y_i={\displaystyle \frac{\ln \left(q_i\right)}{\ln \left(10\right)}}$.

1. Compléter le tableau de l'annexe. On arrondira les valeurs au centième.

   $t_i$ (en heures)	0	2	4	6	8
   $y_i$ (au centième près)	1	0,88	0,74	0,59	0,48

2. 1. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la forme $y=at+b$ de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés. On arrondira a à 10 ^{− 3} et b à l'unité.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de y en t par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=-\mathrm{0,067}t+1$ (a arrondi à 10 ^{− 3} et b arrondi à l'unité)

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   2. Montrer que l'expression de q en fonction de t obtenue à partir de cet ajustement est de la forme : $q\left(t\right)=B{\mathrm{e}}^{-At}$ (on donnera l'arrondi au centième de A et la valeur de B arrondie à l'unité).

      $y=-\mathrm{0,067}t+1$ et $y={\displaystyle \frac{\ln \left(q\right)}{\ln \left(10\right)}}$ d'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\ln \left(q\right)}{\ln \left(10\right)}}=-\mathrm{0,067}t+1& \iff & \ln \left(q\right)=\ln \left(10\right)\times \left(-\mathrm{0,067}t+1\right)\hfill \\ & \iff & q={\mathrm{e}}^{\ln \left(10\right)\times \left(-\mathrm{0,067}t+1\right)}\hfill \\ & \iff & q={\mathrm{e}}^{-\ln \left(10\right)\times \mathrm{0,067}t+\ln \left(10\right)}\hfill \\ & \iff & q={\mathrm{e}}^{\ln \left(10\right)}\times {\mathrm{e}}^{-\ln \left(10\right)\times \mathrm{0,067}t}\hfill \\ & \iff & q=10{\mathrm{e}}^{-\ln \left(10\right)\times \mathrm{0,067}t}\hfill \end{array}$$ Or $\ln \left(10\right)\times \mathrm{0,067}\approx \mathrm{0,15}$

      Ainsi, $q=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$.

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3. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par : $f\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$.

   1. Étudier le sens de variation de la fonction f.

      La fonction $x⟼-\mathrm{0,15}t$ est strictement décroissante et la fonction exponentielle est strictement croissante donc la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$ strictement décroissante.

      Par conséquent, la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$ est strictement décroissante.

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   2. On suppose que la quantité q de substance présente dans le sang à l'instant t (t exprimé en heures) est donnée par $q\left(t\right)=f\left(t\right)$ pour t variant de 0 à 12 heures.
      Calculer à 10 ^{− 1} près la quantité de substance présente dans le sang au bout de 12 heures.

      $$10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}\times 12}\approx \mathrm{1,7}$$

      Avec ce modèle, la quantité de substance présente dans le sang au bout de 12 heures est de 1,7 mg.

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   3. En comparant les réponses trouvées à la question précédente et à la question 3 de la partie A, dire lequel de ces deux modèles vous paraît le mieux adapté à la situation.

      Si on suppose que la substance médicamenteuse n'est pas éliminée par les reins en moins de 12 heures, c'est le deuxième modèle qui est le mieux adapté. Sinon c'est le modèle affine qui convient.

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partie b - Valeur moyenne

1. Soit F la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{200}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$. Montrer que F est une primitive de f sur $\left[0;12\right]$.

   • méthode 1

     Pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;12\right]$, $$F\prime \left(t\right)=-{\displaystyle \frac{200}{3}}\times \left(-\mathrm{0,15}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$$

     Ainsi, pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;12\right]$, $F\prime \left(t\right)=f\left(t\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left[0;12\right]$.

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   • méthode 2

     Pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;12\right]$, posons $u\left(t\right)=-\mathrm{0,15}t$ d'où, $u\prime \left(t\right)=-\mathrm{0,15}$. Par conséquent, $f=-{\displaystyle \frac{200}{3}}\times u\prime {\mathrm{e}}^u$ donc une primitive de f est de la forme $F=-{\displaystyle \frac{200}{3}}\times {\mathrm{e}}^u$

     Ainsi, une primitive de f sur $\left[0;12\right]$ est la fonction F définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{200}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}$.

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2. Soit $I={\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$. Calculer la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième près.

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(t\right)\mathrm{d}t}& =& F\left(10\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& -{\displaystyle \frac{200}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}+{\displaystyle \frac{200}{3}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{200}{3}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}\right)\hfill \end{array}$$

   $I={\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(t\right)\mathrm{d}t}={\displaystyle \frac{200}{3}}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}\right)$. Soit $I\approx \mathrm{51,8}$

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3. En déduire, à un dixième de milligramme près, la quantité moyenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection.

   La quantité moyenne m de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection est :$$m={\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle {\int }_0^{10}f\left(t\right)\mathrm{d}t}\approx \mathrm{5,18}$$

   La quantité moyenne de substance médicamenteuse présente dans le sang pendant les 10 heures qui suivent l'injection est de 5,18 mg.

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