sujet : amérique du sud

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Donner les probabilités : $p\left(C\right)$ ; $p_{\overline{C}}\left(H\right)$ et $p_{\overline{C}}\left(B\right)$.

   • À cette borne de péage, 60 % des véhicules sont des camions d'où $p\left(C\right)=\mathrm{0,6}$

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   • Lorsqu'un autre type de véhicule passe, son conducteur est contraint d'en sortir pour saisir son ticket une fois sur quatre d'où $p_{\overline{C}}\left(H\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $p_{\overline{C}}\left(B\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$

2. Construire un arbre probabiliste présentant la situation.

3. Calculer la probabilité que le ticket sorte en haut.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{c}p\left(H\right)=p\left(C\cap H\right)+p\left(\overline{C}\cap H\right)\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(C\cap H\right)=p_C\left(H\right)\times p\left(C\right)\hfill & \text{et}& p\left(\overline{C}\cap H\right)=p_{\overline{C}}\left(H\right)\times p\left(\overline{C}\right)\hfill \\ \text{Soit}& p\left(C\cap H\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}\hfill & \text{et}& p\left(\overline{C}\cap H\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,1}\hfill \end{array}$$

   D'où $$p\left(H\right)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,5}$$

   La probabilité que le ticket sorte en haut est égale à 0,5.

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4. Montrer que la probabilité qu'un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket vaut 0,7.

   Notons S l'évènement « le conducteur ne sort pas de son véhicule pour saisir le ticket » $$\begin{array}{ccc}p\left(S\right)=p\left(C\cap H\right)+p\left(\overline{C}\cap B\right)& \text{Soit}& p\left(S\right)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,4}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,7}\end{array}$$

   La probabilité qu'un conducteur ne soit pas obligé de sortir de son véhicule pour saisir le ticket est égale à 0,7.

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5. Trois véhicules se présentent l'un après l'autre à cette borne de péage défectueuse. On modélise cette situation comme un tirage avec remise.
   Calculer la probabilité qu'au moins l'un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket.

   La situation est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
   La loi de probabilité associée au nombre conducteurs qui ne descendent pas du véhicule pour saisir le ticket est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,7.

   L'évènement « au moins un des conducteurs est contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket » est l'évènement contraire de l'évènement « aucun des trois conducteurs n'est contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket ».

   D'où la probabilité P cherchée : $$P=1-{\mathrm{0,7}}^3=\mathrm{0,657}$$

   La probabilité qu'au moins l'un des conducteurs soit contraint de descendre de son véhicule pour saisir son ticket est égale à 0,657.

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