Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans chaque programme de construction proposé par un grand constructeur immobilier, les acquéreurs doivent choisir entre la pose de moquette, de carrelage ou de sol plastifié pour revêtir le sol du salon. Pour le revêtement des murs du salon, ils ont le choix entre peinture ou papier peint.
Le recueil des choix des acquéreurs par l'entreprise donne les résultats suivants :

  • 20 % ont choisi la moquette ;
  • 50 % ont choisi le carrelage ;
  • les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié.

Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.
Parmi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs.
42,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs.
On interroge au hasard un acquéreur de logement construit par cette entreprise.

On considère les évènements suivants :
M l'évènement : « l'acquéreur a choisi la pose de moquette » ;
C l'évènement : « l'acquéreur a choisi la pose de carrelage » ;
S  l'évènement : « l'acquéreur a choisi la pose de sol plastifié » ;
P l'évènement : « l'acquéreur a choisi la pose de papier peint » ;
P¯ l'évènement contraire de P , correspondant à : « l'acquéreur a choisi la peinture ».

Les résultats seront donnés sous forme décimale, et arrondis au millième.

  1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, qui sera complété tout au long de l'exercice.

    On a :

    • 20 % des acquéreurs, ont choisi la moquette , 50 % des acquéreurs ont choisi le carrelage et les autres acquéreurs ont choisi la pose de sol plastifié d'où p(M)=0,2, p(C)=0,5 et p(P)=1-(0,2+0,5)=0,3

    • Parmi les acquéreurs ayant choisi la moquette, 46 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs d'où pM(P)=0,46 et pM(P¯)=1-0,46=0,54

    • Parmi les acquéreurs ayant choisi le carrelage, 52 % choisissent le papier peint pour le revêtement des murs d'où pC(P)=0,52 et pC(P¯)=1-0,52=0,48

    D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Décrire l'évènement MP.

      MP est l'évènement : « l'acquéreur a choisi la pose de moquette et la pose de papier peint ».


    2. Calculer la probabilité p(MP).

      p(MP)=pM(P)×p(M)=0,46×0,2=0,092

      Ainsi, p(MP)=0,092


    1. Montrer que la probabilité que l'acquéreur ait choisi la pose de sol plastifié et de papier peint est égale à 0,075.

      Les évènements M, C et S forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(P)=p(MP)+p(CP)+p(SP)Soitp(SP)=p(P)-p(MP)-p(CP)

      Or 42,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint d'oùp(P)=0,427 et d'autre part, p(CP)=pC(P)×p(C)=0,52×0,5=0,26

      Donc p(SP)=0,427-0,092-0,26=0,075

      Ainsi, p(SP)=0,075


    2. L'acquéreur a choisi le sol plastifié. Calculer la probabilité qu'il ait choisi le papier peint.

      pS(P)=p(SP)p(S)soitpS(P)=0,0750,3=0,25

      La probabilité qu'un acquéreur ayant choisi le sol plastifié choisisse le papier peint est égale à 0,25.


  2. On interroge au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur.

    1. Calculer la probabilité, notée p1, qu'au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint.

      • 42,7 % des acquéreurs ont choisi le papier peint pour le revêtement des murs d'où p(P)=0,427

      • L'expérience aléatoire qui consiste à interroger au hasard et de façon indépendante trois acquéreurs parmi tous les clients du constructeur est modélisée par la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
        La loi de probabilité associée au nombre d'acquéreurs qui choisissent le papier peint est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,427.

      L'évènement « au moins un des trois acquéreurs a choisi le papier peint » est l'évènement contraire de l'évènement « aucun des trois acquéreurs n'a choisi le papier peint ». D'où la probabilité p1 cherchée : p1=1-(1-0,427)3=1-0,57330,812

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins un des trois acquéreurs ait choisi le papier peint est 0,812.


    2. Calculer la probabilité, notée p2, qu'exactement deux des trois acquéreurs aient choisi le papier peint.

      Notons à l'aide d'un mot de trois lettres les différentes issues de l'expérience aléatoire. Il y a trois issues qui correspondent à l'évènement « exactement deux des trois acquéreurs ont choisi le papier peint » PPP¯, PP¯P et P¯PP. D'où la probabilité p2 cherchée : p2=3×0,4272×0,5730,313

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'exactement deux des trois acquéreurs ait choisi le papier peint est 0,313.



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