Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On appelle C la courbe représentative de f dans un repère du plan.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur .

x- 3 +
f(x)

1

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

− 1

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

+


On donne de plus : f(-2)=0 , f(5)=0 et f(10)=3.

À l'aide des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

  1. Dresser sans justification le tableau donnant le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

    Sur l'intervalle ]-;3], f est décroissante et f(-2)=0 donc si x-2 alors, f(x)0

    Sur l'intervalle [3;+[, f est croissante et f(5)=0 donc si x5 alors, f(x)0

    D'où le tableau donnant le signe de f(x) suivant les valeurs du nombre réel x.

    x- − 2 5 +
    f(x) +0||0||+ 

    Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.

    1. La courbe C admet-elle une asymptote horizontale ? Si oui, préciser une équation de cette droite.

      limx-f(x)=1 alors, la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation y=1 au voisinage de -.


    2. Montrer que l'équation f(x)=2 admet une unique solution sur l'intervalle [3;10].

      Ainsi, l'équation f(x)=2 admet une unique solution α appartenant à l'intervalle [5;10]


    3. On appelle F une primitive de la fonction f sur . Déterminer les variations de la fonction F sur .

      Dire que F est une primitive de la fonction f sur signifie que pour tout réel x, F(x)=f(x). Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f(x)

      x- − 2 5 +
      f(x) +0||0||+ 
      F(x)  fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.   fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
  2. On note g la fonction définie sur ]-;-2[]5;+[ par g(x)=ln[f(x)]ln désigne la fonction logarithme népérien.

    1. Expliquer pourquoi la fonction g n'est pas définie sur l'intervalle [-2;5].

      La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle ]0;+[ donc la fonction g est définie pour tout réel x tel que f(x)>0

      D'après le tableau donnant le signe de f, la fonction g n'est pas définie sur l'intervalle [-2;5].


    2. Déterminer limx+g(x) et limx5x>5g(x).

      • limx+f(x)=+ et limX+ln(X)=+ alors par composition des limites, limx+g(x)=+


      • limx5+f(x)=0+ et limX0ln(X)=- alors par composition des limites, limx5x>5g(x)=-


    3. Préciser le sens de variation de la fonction g sur son ensemble de définition.

      La fonction logarithme népérien est strictement croissante donc la fonction g a les mêmes variations que la fonction f sur tout intervalle où f est strictement positive.

      La fonction g est décroissante sur l'intervalle ]-;-2[ et croissante sur l'intervalle ]5;+[.



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