Soit f une fonction définie et dérivable sur . On appelle C la courbe représentative de f dans un repère du plan.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur .
x | 3 | ||||
1 | − 1 |
On donne de plus : , et .
À l'aide des informations fournies ci-dessus, répondre aux questions suivantes.
Dresser sans justification le tableau donnant le signe de suivant les valeurs du nombre réel x.
Sur l'intervalle , f est décroissante et donc si alors,
Sur l'intervalle , f est croissante et donc si alors,
D'où le tableau donnant le signe de suivant les valeurs du nombre réel x.
x | − 2 | 5 | |||||
+ | − | + |
Les réponses aux questions suivantes devront être justifiées.
La courbe C admet-elle une asymptote horizontale ? Si oui, préciser une équation de cette droite.
alors, la courbe C admet pour asymptote la droite d'équation au voisinage de .
Montrer que l'équation admet une unique solution sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , f est décroissante et donc pour tout réel , . Donc l'équation n'admet pas de solution sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , f est dérivable donc continue, strictement croissante, et . Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
Sur l'intervalle , l'équation admet une unique solution α avec .
Ainsi, l'équation admet une unique solution α appartenant à l'intervalle
On appelle F une primitive de la fonction f sur . Déterminer les variations de la fonction F sur .
Dire que F est une primitive de la fonction f sur signifie que pour tout réel x, . Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de
x | − 2 | 5 | |||||
+ | − | + | |||||
On note g la fonction définie sur par où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Expliquer pourquoi la fonction g n'est pas définie sur l'intervalle .
La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle donc la fonction g est définie pour tout réel x tel que
D'après le tableau donnant le signe de f, la fonction g n'est pas définie sur l'intervalle .
Déterminer et .
et alors par composition des limites,
et alors par composition des limites,
Préciser le sens de variation de la fonction g sur son ensemble de définition.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante donc la fonction g a les mêmes variations que la fonction f sur tout intervalle où f est strictement positive.
La fonction g est décroissante sur l'intervalle et croissante sur l'intervalle .
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