Soit f la fonction dérivable définie sur l'intervalle par .
Dans un repère orthogonal, on note la courbe représentative de la fonction f et D la droite d'équation .
On admet que la courbe et la droite D se coupent en un seul point d'abscisse et on donne .
Calculer et la valeur arrondie au centième de .
Ainsi, et
Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f peuvent être étudiées à l'aide des théorèmes sur les variations des fonctions composées ou à l'aide du signe de la dérivée.
méthode 1 : variations des fonctions composées
La fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par : est strictement positive et décroissante et la fonction affine définie par : est croissante. Donc par composition, la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par : est strictement positive et décroissante.
Or la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle donc par composition, la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par : est croissante.
Ainsi, la fonction f définie sur l'intervalle par est croissante.
méthode 2 : signe de la dérivée
d'où avec pour tout réel x positif, et
Donc la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur par :
Or pour tout réel x,
Ainsi, la dérivée de la fonction f est postive donc la fonction f est croissante.
Calculer la limite de f en . En déduire que la courbe admet une asymptote horizontale au voisinage de et en donner une équation.
d'où . Comme alors par composition des limites,
Ainsi, donc la courbe admet pour asymptote la droite d'équation au voisinage de .
Montrer que pour tout x appartenant à , on a . En déduire la position relative de la courbe par rapport à la droite d'équation sur l'intervalle .
Pour tout réel x,
Ainsi, pour tout x appartenant à , on a donc la courbe est en dessous de son asymptote d'équation .
À l'aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de x, le signe de pour x appartenant à l'intervalle .
Graphiquement, le signe de se déduit des positions relatives de la droite D et de la courbe .
x | 0 | ||||
− | + |
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On utilisera les résultats de la partie A.
Une entreprise peut produire chaque jour au maximum 2 000 thermomètres de bain pour bébé.
On note x le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, x appartenant à l'intervalle .
On suppose que le coût total de production par jour, exprimé en centaines d'euros, est égal à , où f est la fonction définie dans la partie A.
Déterminer le montant des « coûts fixes », c'est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle.
Exprimé en centaines d'euros le montant des « coûts fixes » est égal à
Le montant des « coûts fixes » est égal à 1600 euros.
Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre 8 100 € par jour ? Justifier.
D'après la question 3b on a
Le coût total de production des thermomètres est toujours inférieur à 8 000 € par jour.
Le prix de vente d'un thermomètre est fixé à 7 € . La recette journalière, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par .
Pour quelles productions journalières de thermomètres l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? Justifier.
Soit le montant en centaines d'euros du bénéfice en supposant que toute la production est vendue.
Le bénéfice est positif pour toute production x telle que
En supposant que toute la production est vendue, l'entreprise réalise un bénéfice pour toute production supérieure à 902 thermomètres.
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