Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a : étude d'une fonction

Soit f la fonction dérivable définie sur l'intervalle [0;+[ par f(x)=801+4e-0,3x.
Dans un repère orthogonal, on note Cf la courbe représentative de la fonction f et D la droite d'équation y=7x.
On admet que la courbe Cf et la droite D se coupent en un seul point d'abscisse x0 et on donne x09,02.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Calculer f(0) et la valeur arrondie au centième de f(20).

    f(0)=801+4e0=16

    f(20)=801+4e-0,3×20=801+4e-679,21

    Ainsi, f(0)=16 et f(20)79,21


  2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;+[.

    Les variations de la fonction f peuvent être étudiées à l'aide des théorèmes sur les variations des fonctions composées ou à l'aide du signe de la dérivée.

    • méthode 1 : variations des fonctions composées

      La fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ par : xe-0,3x est strictement positive et décroissante et la fonction affine définie par : x1+4x est croissante. Donc par composition, la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ par : x1+4e-0,3x est strictement positive et décroissante.

      Or la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]0;+[ donc par composition, la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ par : x11+4e-0,3x est croissante.

      Ainsi, la fonction f définie sur l'intervalle [0;+[ par f(x)=801+4e-0,3x est croissante.


    • méthode 2 : signe de la dérivée

      f=80u d'où f=-80uu2 avec pour tout réel x positif, u(x)=1+4e-0,3x et u(x)=-1,2e-0,3x

      Donc la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur [0;+[ par :f(x)=-80×(-1,2e-0,3x)(1+4e-0,3x)2=96e-0,3x(1+4e-0,3x)2

      Or pour tout réel x, e-0,3x>0

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est postive donc la fonction f est croissante.


    1. Calculer la limite de f en + . En déduire que la courbe Cf admet une asymptote horizontale au voisinage de + et en donner une équation.

      limx+e-0,3x=0 d'où limx+1+4e-0,3x=1. Comme limX180X=80 alors par composition des limites, limx+801+4e-0,3x=80

      Ainsi, limx+f(x)=80 donc la courbeCf admet pour asymptote la droite d'équation y=80 au voisinage de +.


    2. Montrer que pour tout x appartenant à [0;+[, on a f(x)<80. En déduire la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite d'équation y=80 sur l'intervalle [0;+[.

      Pour tout réel x, e-0,3x>01+4e-0,3x>111+4e-0,3x<1801+4e-0,3x<80

      Ainsi, pour tout x appartenant à [0;+[, on a f(x)<80 donc la courbe Cf est en dessous de son asymptote d'équation y=80.


  3. À l'aide du graphique, déterminer, selon les valeurs de x, le signe de 7x-f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0;+[.

    Graphiquement, le signe de 7x-f(x) se déduit des positions relatives de la droite D et de la courbe Cf.

    x0 x0 +
    7x-f(x) 0||+ 

partie b : interprétation économique

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. On utilisera les résultats de la partie A.

Une entreprise peut produire chaque jour au maximum 2 000 thermomètres de bain pour bébé.
On note x le nombre de centaines de thermomètres produits chaque jour travaillé, x appartenant à l'intervalle [0;20].
On suppose que le coût total de production par jour, exprimé en centaines d'euros, est égal à f(x), où f est la fonction définie dans la partie A.

  1. Déterminer le montant des « coûts fixes », c'est-à-dire le montant des coûts lorsque la quantité produite est nulle.

    Exprimé en centaines d'euros le montant des « coûts fixes » est égal à f(0)

    Le montant des « coûts fixes » est égal à 1600 euros.


  2. Le coût total de production des thermomètres peut-il atteindre 8 100 € par jour ? Justifier.

    D'après la question 3b on a f(x)<80

    Le coût total de production des thermomètres est toujours inférieur à 8 000 € par jour.


  3. Le prix de vente d'un thermomètre est fixé à 7 € . La recette journalière, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par R(x)=7x.
    Pour quelles productions journalières de thermomètres l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? Justifier.

    Soit B(x)=7x-f(x) le montant en centaines d'euros du bénéfice en supposant que toute la production est vendue.

    Le bénéfice est positif pour toute production x telle que 7x-f(x)>0Soitx>x0

    En supposant que toute la production est vendue, l'entreprise réalise un bénéfice pour toute production supérieure à 902 thermomètres.



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