Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise du secteur « Bâtiments et Travaux Publics » doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an.
En 2007, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel n, on note rn la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année (2007 + n). On a donc r0=40 000.

    1. Calculer r1 et r2.

      Le coefficient multiplicateur associé à une réduction de 5% est égal à 0,95. D'autre part, l'entreprise produit 200 tonnes de nouveaux déchets par an donc : r1=40000×0,95+200=38200r2=38200×0,95+200=36490

      Ainsi, r1=38200 et r2=36490.


    2. Justifier que pour tout entier n naturel on a rn+1=0,95rn+200.

      L'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. Donc :

      pour tout entier n naturel on a rn+1=0,95rn+200.


  1. Soit (sn) la suite définie pour tout entier naturel n par sn=rn-4000.

    1. Démontrer que la suite (sn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      s0=40000-4000=36000 et pour tout entier naturel n, sn+1=rn+1-4000sn+1=0,95rn+200-4000sn+1=0,95rn-3800sn+1=0,95×(rn-4000)sn+1=0,95sn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, sn+1=0,95sn donc (sn) est une suite géométrique de raison 0,95. Le premier terme est s0=36000.


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer sn en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a rn=36 000×0,95n+4000.

      (sn) est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme 36 000 alors pour tout entier naturel n, sn=36000×0,95n

      Or pour tout entier naturel n, sn=rn-4000 donc :

      pour tout entier naturel n, on a rn=36 000×0,95n+4000.


    3. La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d'une année sur l'autre ? Justifier.

      Étudions la monotonie de la suite (rn)

      • methode 1 :

        Pour tout entier naturel n, rn+1-rn=(36 000×0,95n+1+4000)-(36 000×0,95n+4000)=36000×(0,95n+1-0,95n)=36000×0,95n×(0,95-1)=-1800×0,95n

        Or pour tout entier naturel n, 0,95n>0. D'où pour tout entier naturel n, -1800×0,95n<0.

        Ainsi, pour tout entier naturel n, rn+1-rn<0 donc la suite (rn) est décroissante. Par conséquent, la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre.


      • methode 2 :

        0<0,95<1 donc la fonction définie pour tout réel x par : x0,95x est décroissante. Par conséquent, la fonction f définie sur par f(x)=36 000×0,95x+4000 est décroissante donc, la suite (rn) est décroissante.

        La suite (rn) est décroissante donc la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre.


    4. Déterminer la limite de la suite (rn) quand n tend vers l'infini.

      limn+0,95n=0 donc limn+36 000×0,95n+4000=4000 donc limn+rn=4000


    5. Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011.

      L'indice de l'année 2011 est 4 et r4=36 000×0,954+400033322

      En 2011, la quantité de rejets serait de 33322 tonnes.


  2. Dans cette question, tout trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ?

    On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : 36000×0,95n+4000300000,95n2600036000ln(0,95n)ln(1318)nln0,95ln(1318)nln13-ln18ln0,95ln0,95<0

    Or ln13-ln18ln0,956,3 donc le plus petit entier est nln13-ln18ln0,95 est 7.

    C'est à partir de 2014 que l'entreprise réussira à respecter son engagement.



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