Une entreprise du secteur « Bâtiments et Travaux Publics » doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an.
En 2007, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel n, on note la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année (2007 + n). On a donc .
Calculer et .
Le coefficient multiplicateur associé à une réduction de 5% est égal à 0,95. D'autre part, l'entreprise produit 200 tonnes de nouveaux déchets par an donc :
Ainsi, et .
Justifier que pour tout entier n naturel on a .
L'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette de 5 % par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités. Donc :
pour tout entier n naturel on a .
Soit la suite définie pour tout entier naturel n par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
et pour tout entier naturel n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,95. Le premier terme est .
Pour tout entier naturel n, exprimer en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a .
est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme 36 000 alors pour tout entier naturel n,
Or pour tout entier naturel n, donc :
pour tout entier naturel n, on a .
La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d'une année sur l'autre ? Justifier.
Étudions la monotonie de la suite
methode 1 :
Pour tout entier naturel n,
Or pour tout entier naturel n, . D'où pour tout entier naturel n, .
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc la suite est décroissante. Par conséquent, la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre.
methode 2 :
donc la fonction définie pour tout réel x par : est décroissante. Par conséquent, la fonction f définie sur par est décroissante donc, la suite est décroissante.
La suite est décroissante donc la quantité de déchets rejetée diminue d'une année sur l'autre.
Déterminer la limite de la suite quand n tend vers l'infini.
donc donc
Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2011.
L'indice de l'année 2011 est 4 et
En 2011, la quantité de rejets serait de 33322 tonnes.
Dans cette question, tout trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement ?
On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que :
Or donc le plus petit entier est est 7.
C'est à partir de 2014 que l'entreprise réussira à respecter son engagement.
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