sujet : Asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

partie a : Ajustement exponentiel

1. Pour i entier variant de 0 à 8, construire le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à la série statistique dans le plan rapporté à un repère orthogonal fourni en annexe 1 à rendre avec la copie.

   Nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à la série statistique (représentation partielle de la figure donnée en annexe 1)

2. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=101{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,13}x}$. On suppose que la fonction f modélise un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$. Sa courbe représentative est tracée dans l'annexe 1.

   1. Déterminer les variations de la fonction f.

      La fonction exponentielle est strictement croissante par conséquent, sur $ℝ$, la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,13}x}$ a les mêmes variations que la fonction affine $x⟼\mathrm{0,13}x$

      Donc la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=101{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,13}x}$ est strictement croissante.

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   2. Résoudre dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ l'inéquation $f\left(x\right)⩾350$. Interpréter le résultat obtenu.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}101{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,13}x}⩾350& \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,13}x}⩾{\displaystyle \frac{350}{101}}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,13}x⩾\ln \left({\displaystyle \frac{350}{101}}\right)\hfill \\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{350}{101}}\right)}{\mathrm{0,13}}}\hfill \end{array}$$

      L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩾350$ est l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{\ln 350-\ln 101}{\mathrm{0,13}}};+\infty \right[$.
      Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{350}{101}}\right)}{\mathrm{0,13}}}\approx \mathrm{9,56}$ donc avec cet ajustement, on peut estimer que l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350 à partir de 2010.

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partie b : Ajustement affine

1. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ (i entier variant de 0 à 8) puis le placer dans le graphique de l'annexe 1.

   Les coordonnées du point moyen $G\left(\overline{x};\overline{y}\right)$ sont $$\begin{array}{ccc}\overline{x}={\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{9}}=4& \text{et}& \overline{y}={\displaystyle \frac{100+\mathrm{114,14}+\mathrm{131,17}+\mathrm{147,06}+\mathrm{166,56}+\mathrm{189,63}+\mathrm{219,38}+\mathrm{251,01}+\mathrm{268,14}}{9}}\approx \mathrm{176,34}\end{array}$$

   Arrondies au centième, les coordonnées du point moyen G sont $G\left(4;\mathrm{176,34}\right)$

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2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite D d'ajustement affine de ce nuage par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10 ^{− 2}.
   Tracer cette droite dans le graphique de l'annexe 1.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=\mathrm{21,7}x+\mathrm{89,53}$ ( coefficients arrondis au centième).

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3. On suppose que le modèle affine reste valable jusqu'en 2014.
   Déterminer à partir de quelle année, l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350. Justifier votre réponse.

   Le rang n de l'année, à partir de laquelle l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350 est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}\mathrm{21,7}n+\mathrm{89,53}⩾350& \iff & n⩾{\displaystyle \frac{350-\mathrm{89,53}}{\mathrm{21,7}}}\hfill \end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{350-\mathrm{89,53}}{\mathrm{21,7}}}\approx \mathrm{12,003}$. Donc le plus petit entier n tel que $\mathrm{21,7}n+\mathrm{89,53}⩾350$ est 13

   Avec cet ajustement, on peut estimer que l'indice de consommation des produits des T. I. C. sera supérieur à 350 à partir de 2013.

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partie c : Comparaison des modèles

On sait que pour l'année 2009, l'indice de consommation des produits des Technologies de l'Information et de la Communication (T. I. C.) est de 284,24. Des deux ajustements précédents, lequel donne l'estimation la plus proche de la réalité ? Justifier votre réponse.

Le rang de l'année 2009 est 9 : $$\begin{array}{ccc}f\left(9\right)=101{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,13}\times 9}\approx \mathrm{325,42}& \text{et}& \mathrm{21,7}\times 9+\mathrm{89,53}=\mathrm{284,83}\end{array}$$

Pour l'année 2009, c'est l'ajustement affine qui donne la meilleure estimation.

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