sujet : Asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise financière est divisée en deux secteurs ; 65 % de son personnel travaille dans le secteur A et 35 % dans le secteur B.
Cette entreprise s'intéresse au niveau de stress de son personnel.
Une enquête, menée sous la forme d'un questionnaire informatisé, est réalisée au sein de l'entreprise. Le questionnaire est proposé de manière anonyme aux salariés des deux secteurs.
Cette enquête révèle que pour le secteur A, 20 % du personnel se dit stressé, tandis que, dans le secteur B, ce taux est de 30 %.

On choisit au hasard le questionnaire d'un employé de l'entreprise, chacun ayant la même probabilité d'être choisi.
On note :

• A : « le questionnaire est celui d'un employé du secteur A ».
• B : « le questionnaire est celui d'un employé du secteur B ».
• S : « le questionnaire est celui d'un employé stressé ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   • 65 % du personnel de l'entreprise travaille dans le secteur A et 35 % dans le secteur B donc $p\left(A\right)=\mathrm{0,65}$ et $p\left(B\right)=\mathrm{0,35}$

   • Pour le secteur A, 20 % du personnel se dit stressé, donc $p_A\left(S\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_A\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$

   • Dans le secteur B, le taux du personnel qui se dit stressé est de 30 % donc $p_B\left(S\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_B\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

   D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé

2. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé.

   $$\begin{array}{cccc}& p\left(B\cap S\right)=p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)\hfill & \text{soit}& p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,35}=\mathrm{0,105}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d'un employé qui travaille dans le secteur B et qui est stressé est égale à 0,105.

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3. Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
   L'entreprise examine l'opportunité d'installer une salle de relaxation. Si le taux d'employés stressés est strictement supérieur à 25 %, cette salle sera installée.
   L'entreprise implantera-t-elle la salle de relaxation ? Justifier la réponse.

   L'entreprise est divisée en deux secteurs, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(A\cap S\right)+p\left(B\cap S\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(A\cap S\right)=p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)\hfill & \text{soit}& p\left(A\cap S\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,13}\hfill \end{array}$$ D'où $$p\left(S\right)=\mathrm{0,13}+\mathrm{0,105}=\mathrm{0,235}$$

   La probabilité qu'un salarié soit stressé est égale à 0,235. Par conséquent, le taux d'employés stressés est de 23,5 % donc l'entreprise n'implantera pas la salle de relaxation.

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   remarque :

   On peut répondre à cette question en calculant simplement le taux d'employés stressés de l'entreprise.

   Soit N le nombre d'employés de l'entreprise :

   le nombre d'employés stressés du secteur A est : $$\mathrm{0,2}\times \left(\mathrm{0,65}\times N\right)=\mathrm{0,13}N$$ le nombre d'employés stressés du secteur B est : $$\mathrm{0,3}\times \left(\mathrm{0,35}\times N\right)=\mathrm{0,105}N$$

   Le nombre d'employés stressés de l'entreprise est :$$\mathrm{0,13}N+\mathrm{0,105}N=\mathrm{0,235}N$$

   Par conséquent, 23,5 % des employés de l'entreprise sont stressés.

4. Sachant que le questionnaire choisi est celui d'un employé stressé, quelle est la probabilité qu'il travaille dans le secteur A ? (le résultat sera arrondi à 10^{− 2})

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{soit}& p_S\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,13}}{\mathrm{0,235}}}\approx \mathrm{0,55}\end{array}$$

   Arrondie au centième près, la probabilité qu'un salarié stressé travaiile dans le secteur A est 0,55.

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