sujet : Asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est de déterminer le bénéfice maximum réalisable pour la vente d'un produit « alpha » fabriqué par une entreprise. Toute l'étude porte sur un mois complet de production.
Le coût marginal de fabrication du produit « alpha » par l'entreprise est modélisé par la fonction $C_m$ définie sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ par $C_m\left(q\right)=4+\left(\mathrm{0,2}{q}^2-2q\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}$, q étant la quantité exprimée en tonnes et $C_m\left(q\right)$ son coût exprimé en milliers d'euros.

1. La fonction coût total est modélisée par la fonction $C_T$ dénie sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ par $C_T\left(q\right)=4q-q^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}$.
   Vérifier que cette fonction $C_T$ est une primitive de la fonction $C_m$ sur l'intervalle $\left[1;20\right]$.

   La fonction $C_T$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ : $$\begin{array}{ccc}{C}_T\prime \left(q\right)& =& 4-\left(2q\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}+q^2\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}\right)\right)\hfill \\ & =& 4-\left(\left(2q-\mathrm{0,2}{q}^2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}\right)\hfill \\ & =& 4+\left(\mathrm{0,2}{q}^2-2q\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[1;20\right]$, $C_T\prime \left(q\right)=C_m\left(q\right)$. Donc la fonction $C_T$ est une primitive de la fonction $C_m$

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2. La fonction coût moyen, notée $C_M$ , est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ par $C_M={\displaystyle \frac{C_T}{q}}$ .

   1. Vérifier que $C_M\left(q\right)=4-q{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}$.

      Sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ :$$C_M\left(q\right)={\displaystyle \frac{4q-q^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}}{q}}=4-q{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}$$

      Ainsi, $C_M$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ par $C_M\left(q\right)=4-q{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}$.

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   2. Déterminer la fonction dérivée $C_M\prime$ de la fonction $C_M$.

      La fonction $C_M$ est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ : $$\begin{array}{ccc}{C}_M\prime \left(q\right)& =& -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}-q\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}\right)\hfill \\ & =& \left(\mathrm{0,2}q-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}\hfill \end{array}$$

      $C_M\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;20\right]$ par $C_M\prime \left(q\right)=\left(\mathrm{0,2}q-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}$.

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   3. Pour quelle production mensuelle $q_0$ (exprimée en tonnes) l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal ?
      Quel est ce coût ? Pour cette production $q_0$, quelle est la valeur du coût marginal ?

      Étudions les variations de la fonction coût moyen, $C_M$

      Les variations de la fonction $C_M$ se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or pour tout réel q, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}>0$ et $$\mathrm{0,2}q-1⩾0\iff q⩾5$$

      Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction $C_M$ :

      q	1		5		20
      $C_M\prime \left(q\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $C_M\left(q\right)$

      D'après les variations de la fonction $C_M$, le coût moyen minimal est obtenu pour une production de 5 tonnes. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{C}_M\left(5\right)=4-5{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{2,16}& \text{et}& C_m\left(5\right)=4+\left(\mathrm{0,2}\times 25-10\right){\mathrm{e}}^{-1}=4-5{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

      Le coût moyen minimal est d'environ 2 160 euros par tonne produite obtenu pour une production de 5 tonnes.
      Pour cette production, le coût marginal est égal au coût moyen.

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3. Toute trace de recherche même incomplète, d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
   On suppose que l'entreprise vend toute sa production mensuelle. Chaque tonne du produit « alpha » est vendu 4 000 euros.
   On désigne par $R\left(q\right)$ la recette mensuelle obtenue pour la vente de q tonnes du produit « alpha » et par $B\left(q\right)$ le bénéfice mensuel en millier d'euros ainsi réalisé.
   Les représentations graphiques des fonctions recette et coût total sont données dans l'annexe 2 à rendre avec la copie.
   Estimer graphiquement, en précisant votre démarche, le bénéfice maximal que l'on peut espérer sur le mois étudié.

   Quand la recette est supérieure au coût total, l'entreprise réalise un bénéfice. Le profit se mesure par la distance verticale entre les deux courbes. Le profit est maximal lorsque cette distance est maximale.

   La recette $R\left(q\right)$ (en milliers d'euros) résultant de la vente de q tonnes du produit « alpha », est définie par $R\left(q\right)=4q$. La recette marginale 4 correspond à un prix de vente de 4 000 euros euros la tonne du produit « alpha ».

   Pour maximiser son profit, l'entreprise compare le prix de vente au coût marginal. Sur la « plage de rentabilité », tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice. Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente.

   Or, en un point de la courbe représentative de la fonction coût total $C_T$, le coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à cette courbe. Sur la « plage de rentabilité », le bénéfice est donc maximal en un point de la courbe $C_T$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite représentative de la fonction recette.

   Avec la précision permise par le dessin, le bénéfice est maximal lorsque 10 tonnes du produit « alpha » sont vendues.

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   vérification :

   On cherche à résoudre dans l'intervalle $\left[1;20\right]$ l'équation $C_m\left(q\right)=4$. Or $$\begin{array}{ccc}4+\left(\mathrm{0,2}{q}^2-2q\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}=4& \iff & \left(\mathrm{0,2}{q}^2-2q\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}q}=0\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,2}{q}^2-2q=0\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,2}q\left(q-10\right)=0\hfill \end{array}$$

   Soit $q=0$ ou $q=10$. Donc l'entreprise réalise un bénéfice maximal lorsque 10 tonnes du produit « alpha » sont vendues.

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