sujet : Asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$. Justifier les réponses.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point $D\left(1;2\right)$. Or cette tangente passe également par le point $G\left(0;-4\right)$ d'où $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{y_G-y_D}{x_G-x_D}}& \text{Soit}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-4-2}{0-1}}=6\end{array}$$

   • La courbe C admet au point $E\left(2;6\right)$ une tangente horizontale. D'où $f\prime \left(2\right)=0$.

   Ainsi, $f\prime \left(1\right)=6$ et $f\prime \left(2\right)=0$.

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2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point D.

   Une équation de la tangente à la courbe C au point D est : $$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-x_D\right)+y_D& \text{Soit}& y=6\left(x-1\right)+2\iff y=6x-4\end{array}$$

   La tangente à la courbe C au point D a pour équation $y=6x-4$

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3. Montrer que sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution que l'on notera $x_1$.

   La fonction f est continue sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, strictement décroissante sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$ et, $f\left(-1\right)=6$ et $f\left(0\right)=-2$. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $x_1\in \left[-1;0\right]$.

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4. On admet que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet, sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, deux autres solutions que l'on notera $x_2$ et $x_3$, avec $x_2<x_3$. Dresser le tableau de signes de la fonction f .

   D'après sa représentation graphique et à partir des données de l'énoncé, le tableau de signes de la fonction f est :

   x	− 1		$x_1$		$x_2$		$x_3$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

5. Parmi les trois courbes suivantes, $C_1$, $C_2$, $C_3$, préciser, en justifiant la réponse, celle qui représente F , et celle qui représente $f\prime$.

   • Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f

     x	− 1		$x_1$		$x_2$		$x_3$		$+\infty$
     $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
     $F\left(x\right)$

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     La courbe $C_2$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F.

     ---

   • Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Or la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;2\right]$. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$, on a $f\prime \left(x\right)⩾0$.

     Donc la courbe $C_1$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction $f\prime$.

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   Courbe $C_1$ représentative de la fonction $f\prime$	Courbe $C_2$ représentative de la fonction F	Courbe $C_3$

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