sujet : France Métropolitaine

Corrigé de de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. Premier ajustement

   Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ et, par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de y en x dont une équation est $y=-\mathrm{2,89}x+\mathrm{102,59}$ (les coefficients sont arrondis à 0,01)

   1. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation de l'indice de fréquence en l'année 2012.

      Le rang de l'année 2012 est 12 et $$-\mathrm{2,89}\times 12+\mathrm{102,59}=\mathrm{67,91}$$

      Selon cet ajustement, l'indice de fréquence serait de 67,91 en 2012.

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   2. Quel serait le pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce modèle ? On arrondira le résultat à 10^{− 2}.

      Le taux du pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence est : $${\displaystyle \frac{\mathrm{67,91}-84}{84}}\times 100\approx -\mathrm{19,15}$$

      Selon ce modèle, entre 2007 et 2012 l'indice de fréquence baissé d'environ 19,15%.

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2. Deuxième ajustement

   Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$. On pose $z_i=\ln y_i$

   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de $z_i$ seront arrondies à 10^{− 3} ).

      $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
      $z_i=\ln y_i$	4,608	4,594	4,517	4,494	4,473	4,447	4,431	4,381	4,331

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de z en x sous la forme $z=ax+b$, les coefficients a et b étant arrondis à 10^{− 4}.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $z=-\mathrm{0,0328}x+\mathrm{4,6389}$ (coefficients arrondis à 10^{− 4}).

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   3. En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme $y=K{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0328}x}$ , K étant une constante arrondie à 10^{− 1} près.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ d'où $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0328}x+\mathrm{4,6389}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0328}x}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{4,6389}}\end{array}$$ Or ${\mathrm{e}}^{\mathrm{4,6389}}\approx \mathrm{103,4}$

      Ainsi, $y=\mathrm{103,4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0328}x}$

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3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation
   La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25 % de l'indice de fréquence entre 2007 et 2012.
   Peut-on prévoir d'atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l'on suppose valables jusqu'en 2012 ?

   Selon le modèle affine, entre 2007 et 2012 l'indice de fréquence diminue de 19,15%

   Selon le deuxième modèle, l'indice de fréquence en 2012 serait de $$\mathrm{103,4}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0328}\times ;12}\approx \mathrm{69,8}$$ Soit un taux du pourcentage d'évolution de $${\displaystyle \frac{\mathrm{69,8}-84}{84}}\times 100\approx -\mathrm{16,9}$$

   Quelque soit le modèle choisi, l'objectif d'une réduction de 25% de l'indice de fréquence ne sera pas atteint.

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