sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La Caisse Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs Salariés (CNAMTS) publie, chaque année, des statistiques sur les accidents du travail en France. Celles-ci permettent d'obtenir divers indicateurs, notamment l'indice de fréquence (nombre moyen d'accidents du travail avec arrêt pour 1000 salariés).
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice de fréquence pour le secteur du BTP (Bâtiment et Travaux Publics) en France, au cours des années 2001 à 2009 :

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Rang de l'année : $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Indice de fréquence :$y_i$	100,3	98,9	61,6	89,5	87,6	85,4	84,0	79,9	76,0

1. Premier ajustement

   Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ et, par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de y en x dont une équation est $y=-\mathrm{2,89}x+\mathrm{102,59}$ (les coefficients sont arrondis à 0,01)

   1. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation de l'indice de fréquence en l'année 2012.

   2. Quel serait le pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce modèle ? On arrondira le résultat à 10^{− 2}.

2. Deuxième ajustement

   Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$. On pose $z_i=\ln y_i$

   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de $z_i$ seront arrondies à 10^{− 3} ).

      $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
      $z_i=\ln y_i$	4,608	4,594	4,517

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de z en x sous la forme $z=ax+b$, les coefficients a et b étant arrondis à 10^{− 4}.

   3. En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme $y=K{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0328}x}$ , K étant une constante arrondie à 10^{− 1} près.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$.
      D'autre part, pour tout réel a et pour tout réel b, ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b$

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation

   La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25 % de l'indice de fréquence entre 2007 et 2012.
   Peut-on prévoir d'atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l'on suppose valables jusqu'en 2012 ?

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