sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

   • 12 % des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur donc $p\left(C\right)=\mathrm{0,12}$ et $p\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,88}$

   • parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20 % ont un défaut dans la forme, donc $p_C\left(F\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_C\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$

   • parmi les vêtements n'ayant pas de défaut dans la couleur, 8 % présentent un défaut dans la forme donc $p_{\overline{C}}\left(F\right)=\mathrm{0,08}$ et $p_{\overline{C}}\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}$

   D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé

2. 1. Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme.

      $$\begin{array}{cccc}& p\left(C\cap F\right)=p_C\left(F\right)\times p\left(C\right)\hfill & \text{soit}& p\left(C\cap F\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,12}=\mathrm{0,024}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la probabilité que le vêtement choisi ait les deux défauts est égale à 0,024.

      ---

   2. Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme.

      Les vêtements présentent un défaut de couleur ou un défaut de forme, à l'exclusion de tout autre défaut, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(F\right)=p\left(C\cap F\right)+p\left(\overline{C}\cap F\right)$$

      Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{C}\cap F\right)=p_{\overline{C}}\left(F\right)\times p\left(\overline{C}\right)\hfill & \text{soit}& p\left(\overline{C}\cap F\right)=\mathrm{0,08}\times \mathrm{0,88}=\mathrm{0,0704}\hfill \end{array}$$ D'où $$p\left(F\right)=\mathrm{0,024}+\mathrm{0,0704}=\mathrm{0,0944}$$

      Ainsi, la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme est égale à 0,0944.

      ---

   3. Les évènements C et F sont-ils indépendants ? Justifier.

      On a :$$p\left(C\right)\times p\left(F\right)=\mathrm{0,12}\times \mathrm{0,0944}=\mathrm{0,011328}$$

      Ainsi, $p\left(C\right)\times p\left(F\right)\ne p\left(C\cap F\right)$ donc les évènements C et F ne sont pas indépendants.

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3. Le directeur de l'usine affirme que 92 % des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut.
   Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.

   $$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{C}\cap \overline{F}\right)=p_{\overline{C}}\left(\overline{F}\right)\times p\left(\overline{C}\right)\hfill & \text{soit}& p\left(\overline{C}\cap \overline{F}\right)=\mathrm{0,92}\times \mathrm{0,88}=\mathrm{0,8096}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'un vêtement ne présente aucun défaut est égale à 0,8096 donc l'affirmation est fausse.

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4. Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
   L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants.
   Quelle est la probabilité pour qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le résultat sera arrondi à 10^{− 3}.

   Choisir au hasard trois vêtements, le nombre de vêtements fabriqués étant suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants, est la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de vêtements sans défaut est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,8096.

   D'où la probabilité p que les trois vêtements soient sans défaut $$p={\mathrm{0,8096}}^3\approx \mathrm{0,531}$$

   Arrondie au millième, la probabilité qu'aucun des trois vêtements ne présente de défaut est 0,531.

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