sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$ par : $$B\left(x\right)=10\times {\displaystyle \frac{1+\ln x}{x}}$$ Si $B\left(x\right)$ est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.

1. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :

   (Commande)	B(x) : = 10*((1+ln(x))/x)
   (Réponse 1)	$x⟼10\ast \left({\displaystyle \frac{1+\ln x}{x}}\right)$
   (Commande)	dériver (B(x),x)
   (Réponse 2)	${\displaystyle \frac{10}{x^2}+\frac{10\ast \left(1+\ln \left(x\right)\right)\ast \left(-1\right)}{x^2}}$
   (Commande)	résoudre(B(x) = 0,x)
   (Réponse 3)	$\left[\exp \left(-1\right)\right]$
   (Commande)	résoudre(B(x) > 0,x)
   (Réponse 4)	$[x>\exp (-1)]$
   (Commande)	maximum(B(x), [0.1 ;10])
   (Réponse 5)	10

   1. Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.

      Graphiquement :

      • les soutions de l'équation $B\left(x\right)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. La réponse 3 signifie que la courbe C coupe l'axe des abscisses en point A de coordonnées $A\left({\mathrm{e}}^{-1};0\right)$ ;

      • Les soutions de l'inéquation $B\left(x\right)>0$ sont les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l'axe des abscisses. La réponse 4 signifie que la courbe C est au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\left]{\mathrm{e}}^{-1};10\right]$ ;

      • Le maximum de la fonction de la fonction est égal à l'ordonnée du sommet de la courbe.

   2. Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise.

      Pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccc}10\times {\displaystyle \frac{1+\ln x}{x}}=0& \iff & 1+\ln x=0\hfill \\ & \iff & \ln x=-1\hfill \\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{-1}\hfill \end{array}$$

      Or ${\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,368}$ donc ${\mathrm{e}}^{-1}\in \left[\mathrm{0,1};10\right]$

      Ainsi, l'équation $B\left(x\right)=0$ admet pour unique solution $x={\mathrm{e}}^{-1}$. Le bénéfice de l'entreprise est quasiment nul en vendant environ 37 objets.

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2. 1. Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$ est la fonction F définie sur $\left[\mathrm{0,1};10\right]$ par $F\left(x\right)=5\ln x\left(\ln x+2\right)$

      F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=5\ln x\hfill & ;& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5}{x}}\hfill \\ v\left(x\right)=\ln x+2\hfill & ;& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$$

      D'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5}{x}}\times \left(\ln x+2\right)+5\ln x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{5\ln x+10+5\ln x}{x}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{10\ln x+10}{x}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $F\prime \left(x\right)=B\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction B sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$.

      ---

      remarque

      En posant pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $u\left(x\right)=1+\ln x$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ alors, la fonction B se présente sous la forme $B=10\times u\times u\prime$.
      Les primitives de la fonction B sont les fonctions F de la forme $F=10\times {\displaystyle \frac{u^2}{2}}+c$ où c est un réel.

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $$F\left(x\right)=5\times {\left(1+\ln x\right)}^2+c$$

      En choisissant $c=-5$, on trouve : $$F\left(x\right)=5\times {\left(1+\ln x\right)}^2-5=5\ln x\left(\ln x+2\right)$$

   2. Calculer ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^{\mathrm{1,5}}B\left(x\right)\mathrm{d}x}$ puis en donner une valeur approchée à 10^{− 3} près.
      Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.

      Comme F est une primitive de la fonction B sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$ on a :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^{\mathrm{1,5}}B\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{1,5}\right)-F\left(\mathrm{0,5}\right)\hfill \\ & =& 5\ln \mathrm{1,5}\times \left(\ln \left(\mathrm{1,5}\right)+2\right)-5\ln \mathrm{0,5}\times \left(\ln \left(\mathrm{0,5}\right)+2\right)\hfill \\ & \approx & \mathrm{9,406}\hfill \end{array}$$

      L'arrondi au millième de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^{\mathrm{1,5}}B\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est 9,406.

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3. Pour quel nombre d'objets le bénéfice mensuel B est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.

   Étudions les variations de la fonction B.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $$\begin{array}{ccc}B\prime \left(x\right)& =& 10\times \left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\left(1+\ln x\right)\times 1}{x^2}}\right)\hfill \\ & =& 10\times {\displaystyle \frac{1-1-\ln x}{x^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-10\ln x}{x^2}}\hfill \end{array}$$

   Or pour tout réel x strictement positif, $-10\ln x>0\iff x<1$

   Donc la dérivée est positive sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};1\right]$ et négative sur $\left[1;10\right]$.

   Par conséquent, la fonction B est croissante sur $\left[\mathrm{0,1};1\right]$ et décroissante sur $\left[1;10\right]$. Le maximum de la fonction B est donc atteint pour $x=1$

   Le bénéfice maximal est obtenu pour la vente d'une centaine d'objets.

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