sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.

   Notons $A_n$ l'évènement « l'adhérent a choisi le niveau A » l'année 2010 + n, $B_n$ l'évènement « l'adhérent a choisi le niveau B » l'année 2010 + n et $C_n$ l'évènement « l'adhérent a choisi le niveau C » l'année 2010 + n.

   Il s'avère que, d'une année à l'autre :

   • parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40 % restent à ce niveau et 60 % passent au niveau B, d'où $p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,4}$ et $p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,6}$.
   • parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70 % restent à ce niveau et 20 % reviennent au niveau A et les autres passent au niveau C, d'où $p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,7}$, $p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,2}$ et $p_{B_n}\left(C_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}$.
   • parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85 % restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau B, d'où $p_{C_n}\left(C_{n+1}\right)=\mathrm{0,85}$ et $p_{C_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,15}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. Reproduire et compléter la matrice de transition M de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

   La matrice de transition M de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets est $M=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}& 0\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,1}\\ 0& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)$

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3. Une seule des trois matrices Q, R, T ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable. $$\begin{array}{ccc}Q=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)& R=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)& T=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}& 0\end{array}\right)\end{array}$$ Le président de l'association affirme que 50 % des adhérents choisiront après un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?

   • méthode 1

     Vérifions que la matrice R correspond à l'état probabiliste stable : $$\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,4}& \mathrm{0,6}& 0\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,1}\\ 0& \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{0,4}}{6}+\frac{\mathrm{0,2}}{2}}& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}}{6}+\frac{\mathrm{0,7}}{2}+\frac{\mathrm{0,15}}{3}}& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}}{2}+\frac{\mathrm{0,85}}{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$$

   • méthode 2

     Calculons la matrice $P=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)$ avec $a+b+c=1$ correspondant à l'état probabiliste stable. Nous avons donc $P=PM$ et $a+b+c=1$. D'où a et b sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}a=\mathrm{0,4}a+\mathrm{0,2}b\hfill \\ b=\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,7}b+\mathrm{0,15}c\hfill \\ c=\mathrm{0,1}b+\mathrm{0,85}c\hfill \\ a+b+c=1\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}a-\mathrm{0,2}b=0\hfill & L_1\\ -\mathrm{0,6}a+\mathrm{0,3}b-\mathrm{0,15}c=0\hfill & L_2\\ -\mathrm{0,1}b+\mathrm{0,15}c=0\hfill & L_3\\ a+b+c=1\hfill & L_4\end{array}\end{array}$$

     En remarquant que $L_2=-\left(L_1+L_1\right)$, a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{c}a+b+c=1\hfill \\ -6a+3b-\mathrm{1,5}c=0\hfill \\ 6a-2b=0\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a+b+c=1\hfill \\ -\mathrm{4,5}a+\mathrm{4,5}b=\mathrm{1,5}\hfill \\ 6a-2b=0\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a+b+c=1\hfill \\ -a+b={\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ 2a={\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}c={\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \\ b={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ a={\displaystyle \frac{1}{6}}\hfill \end{array}\end{array}$$

     Ainsi, la matrice qui correspond à l'état stable est la matrice $R=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$

   Quelle que soit la méthode utilisée, nous pouvons conclure :

   L'état probabiliste stable est donné par la matrice $R=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$, après un certain nombre d'années, 50 % des adhérents choisiront le niveau B.

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