Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

La Caisse Nationale de l'Assurance Maladie des Travailleurs Salariés (CNAMTS) publie, chaque année, des statistiques sur les accidents du travail en France. Celles-ci permettent d'obtenir divers indicateurs, notamment l'indice de fréquence (nombre moyen d'accidents du travail avec arrêt pour 1000 salariés).
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice de fréquence pour le secteur du BTP (Bâtiment et Travaux Publics) en France, au cours des années 2001 à 2009 :

Année 200120022003200420052006200720082009
Rang de l'année : xi123456789
Indice de fréquence :yi100,398,961,689,587,685,484,079,976,0
  1. Premier ajustement

    Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique xiyi et, par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de y en x dont une équation est y=-2,89x+102,59 (les coefficients sont arrondis à 0,01)

    Nuages de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2012, déterminer une estimation de l'indice de fréquence en l'année 2012.

    2. Quel serait le pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce modèle ? On arrondira le résultat à 10− 2.

  2. Deuxième ajustement

    Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique xiyi. On pose zi=lnyi

    1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de zi seront arrondies à 10− 3 ).

      xi123456789
      zi=lnyi4,6084,5944,517
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de z en x sous la forme z=ax+b, les coefficients a et b étant arrondis à 10− 4.

    3. En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme y=Ke-0,0328x , K étant une constante arrondie à 10− 1 près.

  3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation

    La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25 % de l'indice de fréquence entre 2007 et 2012.
    Peut-on prévoir d'atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l'on suppose valables jusqu'en 2012 ?


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :

On appelle C l'évènement « le vêtement présente un défaut dans la couleur » et C¯ l'évènement contraire.
On appelle F l'évènement « le vêtement présente un défaut dans la forme » et F¯ l'évènement contraire.

Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l'étude statistique ci-dessus.

  1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    1. Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme.

    2. Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme.

    3. Les évènements C et F sont-ils indépendants ? Justifier.

  2. Le directeur de l'usine affirme que 92 % des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut.
    Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.

  3. Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
    L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants.
    Quelle est la probabilité pour qu'aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le résultat sera arrondi à 10− 3.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : « niveau facile », « niveau moyen » et « niveau difficile ».
Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.
Il s'avère que, d'une année à l'autre :

On note :

Pour n entier naturel positif ou nul, on note Pn=anbncn la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année 2010 + n. Ainsi Pn=0,20,70,1.
On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.

  2. Reproduire et compléter la matrice de transition M de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.M=00,20,15

  3. Une seule des trois matrices Q, R, T ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable. Q=131313R=161213T=15450 Le président de l'association affirme que 50 % des adhérents choisiront après un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?


exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

  1. La fonction f  est définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par : fx=e-2x+1 On note f sa fonction dérivée.

    1. Pour tout x de , fx=e-2

    2. Pour tout x de , fx=e-2x+1

    3. Pour tout x de , fx=-2e-2x+1

  2. On donne le tableau de variation d'une fonction g définie et continue sur l'intervalle -512.

    x−5 2 8 12
    gx

    − 3

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    − 8

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    0

    1. -52gxdx=7

    2. L'équation gx=0 admet exactement deux solutions sur l'intervalle -512

    3. Pour tout x appartenant à l'intervalle -512, gx<0.

  3. La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction h définie et dérivable sur l'intervalle 0+. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe C au point B d'abscisse 1.

    On note h la fonction dérivée de la fonction h sur l'intervalle 0+.

    Courbe représentative de la fonction h : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. h1=0

    2. h1=1,5

    3. h1=-23

  4. Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d'une primitive de la fonction h (introduite à la question 3.) sur l'intervalle 0+. Préciser laquelle.

    a.b.c.
    Courbe représentative a : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative b : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative c : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant x centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l'intervalle 0,110 par : Bx=10×1+lnxx Si Bx est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.

  1. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :

    (Commande)B(x) : = 10*((1+ln(x))/x)
    (Réponse 1)

    x101+lnxx

    (Commande)dériver (B(x),x)
    (Réponse 2)

    10x2+101+lnx-1x2

    (Commande)résoudre(B(x) = 0,x)
    (Réponse 3)

    exp-1

    (Commande)résoudre(B(x) > 0,x)
    (Réponse 4)

    x>exp-1

    (Commande)maximum(B(x), [0.1 ;10])
    (Réponse 5)

    10

    1. Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.

    2. Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l'entreprise.

    1. Démontrer qu'une primitive de la fonction B sur l'intervalle 0,110 est la fonction F définie sur 0,110 par Fx=5lnxlnx+2

    2. Calculer 0,51,5Bxdx puis en donner une valeur approchée à 10− 3 près.
      Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.

  2. Pour quel nombre d'objets le bénéfice mensuel B est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.

annexe

Courbe représentative de la fonction B : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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