sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : « niveau facile », « niveau moyen » et « niveau difficile ».
Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

• 20 % de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
• 70 % de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
• 10 % de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enquête est effectuée.
Il s'avère que, d'une année à l'autre :

• parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40 % restent à ce niveau et 60 % passent au niveau B,
• parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70 % restent à ce niveau et 20 % reviennent au niveau A et les autres passent au niveau C,
• parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85 % restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau B.

On note :

• A l'état « l'adhérent a choisi le niveau A »,
• B l'état « l'adhérent a choisi le niveau B »,
• C l'état « l'adhérent a choisi le niveau C ».

Pour n entier naturel positif ou nul, on note $P_n=\left(\begin{array}{ccc}{a}_n& b_n& c_n\end{array}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année 2010 + n. Ainsi $P_n=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,7}& \mathrm{0,1}\end{array}\right)$.
On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.

2. Reproduire et compléter la matrice de transition M de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.$$M=\left(\begin{array}{ccc}\cdots & \cdots & 0\\ \mathrm{0,2}& \cdots & \cdots \\ \cdots & \mathrm{0,15}& \cdots \end{array}\right)$$

3. Une seule des trois matrices Q, R, T ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable. $$\begin{array}{ccc}Q=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)& R=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)& T=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{5}}& {\displaystyle \frac{4}{5}}& 0\end{array}\right)\end{array}$$ Le président de l'association affirme que 50 % des adhérents choisiront après un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?

   La matrice P correspondant à l'état probabiliste stable vérifie $P=PM$

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