Baccalauréat session 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2011

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $] - \infty; 6 [$ .
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $] - \infty; 6 [$ et $C_{f}$ la courbe représentative de f dans un repère du plan.
On donne le tableau de variations de la fonction f ci-dessous.

x	$- \infty$		− 2		− 1		6
$f (x)$	1		0		5		$- \infty$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.

Pour tout nombre de l'intervalle $] - \infty; 1]$ , on a $f' (x) ⩾ 0$ .
Sur l'intervalle $] - \infty; 1]$ , la fonction f n'est pas monotone donc sur cet intervalle la dérivée n'est pas de signe constant. Plus précisément la dérivée s'annule en changeant de signe en −2 et en −1.
L'affirmation $f' (x) ⩾ 0$ sur l'intervalle $] - \infty; 1]$ est fausse.
La courbe $C_{f}$ admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.
$\lim_{x \to 6} f (x) = - \infty$ par conséquent, la courbe $C_{f}$ admet pour asymptote la droite d'équation $x = 6$
L'affirmation : la courbe $C_{f}$ admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées est vraie.
La droite d'équation $y = 5$ est tangente à la courbe $C_{f}$ .
La fonction f est dérivable en −1 et admet en ce point un maximum égal à 5. Donc la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse −1 a pour équation $y = 5$
L'affirmation : la droite d'équation $y = 5$ est tangente à la courbe $C_{f}$ est vraie.
Si h est la fonction définie sur $] - \infty; 6 [$ par $h (x) = e^{f (x)}$ , on a $\lim_{x \to 6} h (x) = - \infty$ .
$\lim_{x \to 6} f (x) = - \infty$ et $\lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ donc par composition des limites, $\lim_{x \to 6} e^{f (x)} = 0$
L'affirmation : $\lim_{x \to 6} h (x) = - \infty$ est fausse.

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