sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2011

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit u la fonction définie sur $\left]-\infty ;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x-4}}$.

1. Donner le signe de $x^2-5x+6$ pour tout x de $ℝ$.

   Étudions le signe du trinôme $P\left(x\right)=x^2-5x+6$ avec $a=1$, $b=-5$ et $c=6$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-5\right)}^2-4\times 1\times 6=1\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{5-1}{2}}=2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{5+1}{2}}=3\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. D'où le tableau du signe du trinôme $x^2-5x+6$ :

   x	$-\infty$		2		3		$+\infty$
   $x^2-5x+6$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

2. En déduire le signe de $u\left(x\right)$ pour tout x de $\left]-\infty ;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[$.

   Étudions le signe du quotient $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x-4}}$ à l'aide d'un tableau

   x	$-\infty$		2		3		4		$+\infty$
   $x^2-5x+6$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+		+
   $x-4$		−	|	−	|	−		+
   $u\left(x\right)$		−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−		+

3. Factoriser $x^2-5x+6$.

   Les racines du trinôme sont 2 et 3 donc pour tout réel x, $x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$.

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partie b

1. En utilisant la partie A, expliquer pourquoi la fonction f telle que $f\left(x\right)=\ln {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}$ peut être définie pour $x\in \left]4;+\infty \right[$.

   La fonction ln est définie sur l'ensemble des réels strictement positifs. Par conséquent, l'expression $\ln {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}$ est définie pour tout réel x tels que ${\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}>0$.

   C'est à dire pour tout réel x tel que $u\left(x\right)>0$. D'après l'étude de la partie A, $\ln {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}$ est définie sur l'intervalle $\left]2;3\right[$ ou sur l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$.

   La fonction f telle que $f\left(x\right)=\ln {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}$ peut être définie pour $x\in \left]4;+\infty \right[$.

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2. Une représentation graphique de la fonction f figure ci-dessous.
   Utiliser cette représentation graphique pour déterminer une valeur approchée, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre $A={\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. On expliquera la démarche.

   La courbe représentative de la fonction f est située au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale $A={\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine D compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=5$ et $x=7$.

   Or l'aire du domaine D est comprise entre l'aire du rectangle ABEF et l'aire du carré ABCD. D'où $$\begin{array}{ccc}2\times \mathrm{1,5}<{\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<2\times 2& \iff & 3<{\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<4\end{array}$$ Avec la précision permise par le dessin, il semblerait que le nombre $A={\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ soit plus proche de 4 que de 3.

   Une valeur approchée, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre $A={\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est 4.

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3. Soient i, j et k les fonctions définies sur $\left]4;+\infty \right[$ par $i\left(x\right)=\ln \left(x-2\right)$, $j\left(x\right)=\ln \left(x-3\right)$ et $k\left(x\right)=\ln \left(x-4\right)$

   1. Vérifier que la fonction I définie sur $\left]4;+\infty \right[$ par $I\left(x\right)=\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)-x$ est une primitive de la fonction i sur $\left]4;+\infty \right[$.

      Sur l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$, I est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables. $I=uv-w$ d'où $I\prime =u\prime v+uv\prime -w$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x-2\hfill & ;& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x-2\right)\hfill & ;& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}\hfill \\ w\left(x\right)=x\hfill & ;& w\prime \left(x\right)=1\hfill \end{array}$$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$, $$I\prime \left(x\right)=\ln \left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x-2}}-1=\ln \left(x-2\right)$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$, $I\prime \left(x\right)=i\left(x\right)$ donc I est une primitive de la fonction i sur l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$.

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   2. On admet que la fonction J définie sur $\left]4;+\infty \right[$ par $J\left(x\right)=\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)-x$ est une primitive de la fonction j sur $\left]4;+\infty \right[$ et que la fonction K définie par $K\left(x\right)=\left(x-4\right)\ln \left(x-4\right)-x$ est une primitive de la fonction k sur $\left]4;+\infty \right[$.
      Pour $x\in \left]4;+\infty \right[$, exprimer $f\left(x\right)$ à l'aide de $i\left(x\right)$, $j\left(x\right)$ et $k\left(x\right)$.

      Pour tout $x\in \left]4;+\infty \right[$, $x-2>0$, $x-3>0$ et $x-4>0$. Donc pour tout $x\in \left]4;+\infty \right[$, $$f\left(x\right)=\ln {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}=\ln \left(x-2\right)+\ln \left(x-3\right)-\ln \left(x-4\right)$$

      Ainsi, pour tout $x\in \left]4;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=i\left(x\right)+j\left(x\right)-k\left(x\right)$

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   3. En déduire l'expression d'une primitive F de la fonction f sur $\left]4;+\infty \right[$.

      Pour tout $x\in \left]4;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=i\left(x\right)+j\left(x\right)-k\left(x\right)$ d'où $F\left(x\right)=I\left(x\right)+J\left(x\right)-K\left(x\right)$. Soit $$F\left(x\right)=\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)-x+\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)-x-\left(x-4\right)\ln \left(x-4\right)+x=\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)+\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)-\left(x-4\right)\ln \left(x-4\right)-x$$

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left]4;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)+\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)-\left(x-4\right)\ln \left(x-4\right)-x$.

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4. Calculer la valeur exacte de A, puis donner la valeur arrondie au centième.

   $$\begin{array}{ccc}A={\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(7\right)-F\left(5\right)\hfill \\ & =& \left(5\ln 5+4\ln 4-3\ln 3-7\right)-\left(3\ln 3+2\ln 2-\ln 1-5\right)\hfill \\ & =& 5\ln 5+8\ln 2-3\ln 3-7-3\ln 3-2\ln 2+5\hfill \\ & =& 5\ln 5+6\ln 2-6\ln 3-2\hfill \\ & =& 5\ln 5+6\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}-2\hfill \end{array}$$

   $A=5\ln 5+6\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}-2$. Soit arrondi au centième près $A\approx \mathrm{3,61}$.  

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