sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2011

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

   L'examen des fiches a permis à Jade de constater que :

   • Six fois sur dix, Jade a monté Cacahuète et lorsqu'elle l'a monté, elle a réussi son parcours deux fois sur cinq. D'où $p\left(C\right)=\mathrm{0,6}$ et $p_C\left(R\right)=\mathrm{0,4}$.

   • Trois fois sur dix, Jade a monté Tornade et lorsqu'elle l'a montée, elle a réussi son parcours une fois sur deux. D'où $p\left(T\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_T\left(R\right)=\mathrm{0,5}$.

   • Lors des autres concours, Jade a monté Abricot et avec lui, elle a réussi son parcours quatre fois sur cinq. D'où $p_A\left(R\right)=\mathrm{0,8}$ et $p\left(A\right)=1-\left(p\left(C\right)+p\left(T\right)\right)=\mathrm{0,1}$

   D'où l'arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé :

2. Calculer la probabilité de l'évènement : « Jade montait Abricot et a réussi son parcours ».
   Calculer la probabilité de l'évènement : « Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours ».

   $$\begin{array}{ccccccc}p\left(A\cap R\right)& =& p_A\left(R\right)\times p\left(A\right)\hfill & \text{et}& p\left(C\cap R\right)& =& p_C\left(R\right)\times p\left(C\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}\times \mathrm{0,1}\hfill & & & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,6}\hfill \\ & =& \mathrm{0,08}\hfill & & & =& \mathrm{0,24}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $p\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,08}$ et $p\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,24}$

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3. Montrer que la probabilité de l'évènement : « Jade a réussi son parcours » est égale à 0,47.

   Les évènements C, T et A forment une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{c}p\left(R\right)=p\left(C\cap R\right)+p\left(T\cap R\right)+p\left(A\cap R\right)\end{array}$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(T\cap R\right)& =& p_T\left(R\right)\times p\left(T\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}\times \mathrm{0,3}\hfill \\ & =& \mathrm{0,15}\hfill \end{array}$$

   Donc $$p\left(R\right)=\mathrm{0,24}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,08}=\mathrm{0,47}$$

   Ainsi, la probabilité que Jade réussisse son parcours est égale à 0,47.

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4. Sachant que Jade a réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour-là elle ait monté Tornade ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_R\left(T\right)={\displaystyle \frac{p\left(T\cap R\right)}{p\left(R\right)}}& \text{soit}& p_R\left(T\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,47}}}\approx \mathrm{0,319}\end{array}$$

   La probabilité que Jade a réussi son parcours sachant qu'elle a monté Tornade est égale à 0,319.

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5. Sachant que Jade n'a pas réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour-là elle ait monté Abricot ?

   Nous avons :$$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{R}\right)=1-p\left(R\right)\hfill & \text{soit}& p\left(\overline{R}\right)=1-\mathrm{0,47}=\mathrm{0,53}\hfill \\ \text{et}& p\left(\overline{R}\cap A\right)=p_A\left(\overline{R}\right)\times p\left(A\right)\hfill & \text{soit}& p\left(\overline{R}\cap A\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,02}\hfill \end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{R}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{R}\cap A\right)}{p\left(\overline{R}\right)}}& \text{soit}& p_{\overline{R}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}}{\mathrm{0,53}}}\approx \mathrm{0,038}\end{array}$$

   La probabilité que Jade n'a pas réussi son parcours sachant qu'elle a monté Abricot est égale à 0,038.

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