sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2011

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

Soit u la fonction définie sur $\left]-\infty ;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x-4}}$.

1. Donner le signe de $x^2-5x+6$ pour tout x de $ℝ$.

2. En déduire le signe de $u\left(x\right)$ pour tout x de $\left]-\infty ;4\right[\cup \left]4;+\infty \right[$.

3. Factoriser $x^2-5x+6$.

partie b

1. En utilisant la partie A, expliquer pourquoi la fonction f telle que $f\left(x\right)=\ln {\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-4}}$ peut être définie pour $x\in \left]4;+\infty \right[$.

2. Une représentation graphique de la fonction f figure ci-dessous.

   Utiliser cette représentation graphique pour déterminer une valeur approchée, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre $A={\displaystyle {\int }_5^{7}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$
   On expliquera la démarche.

3. Soient i, j et k les fonctions définies sur $\left]4;+\infty \right[$ par :

   • $i\left(x\right)=\ln \left(x-2\right)$
   • $j\left(x\right)=\ln \left(x-3\right)$
   • $k\left(x\right)=\ln \left(x-4\right)$

   1. Vérifier que la fonction I définie sur $\left]4;+\infty \right[$ par $I\left(x\right)=\left(x-2\right)\ln \left(x-2\right)-x$ est une primitive de la fonction i sur $\left]4;+\infty \right[$.

      Dire que la fonction I est une primitive de la fonction i sur $\left]4;+\infty \right[$ signifie que tout réel x de l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$, $I\prime \left(x\right)=i\left(x\right)$.

   2. On admet que la fonction J définie sur $\left]4;+\infty \right[$ par $J\left(x\right)=\left(x-3\right)\ln \left(x-3\right)-x$ est une primitive de la fonction j sur $\left]4;+\infty \right[$ et que la fonction K définie par $K\left(x\right)=\left(x-4\right)\ln \left(x-4\right)-x$ est une primitive de la fonction k sur $\left]4;+\infty \right[$.
      Pour $x\in \left]4;+\infty \right[$, exprimer $f\left(x\right)$ à l'aide de $i\left(x\right)$, $j\left(x\right)$ et $k\left(x\right)$.

   3. En déduire l'expression d'une primitive F de la fonction f sur $\left]4;+\infty \right[$.

4. Calculer la valeur exacte de A, puis donner la valeur arrondie au centième.

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