sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

partie a

1. Dans un premier temps, on décide de faire un ajustement affine. On note (d) la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
   Déterminer en utilisant la calculatrice, une équation de (d). On arrondira les coefficients au millième.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $y=\mathrm{10,686}x+\mathrm{26,144}$ (coefficients arrondis arrondis au millième).

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2. À l'aide de cet ajustement, faire une estimation de la population du Nigeria en 2010. On arrondira la réponse au millier d'habitants.

   Le rang de l'année 2010 est 11 et : $$\mathrm{10,686}\times 11+\mathrm{26,144}=\mathrm{143,69}$$

   La population du Nigeria est estimée à 143 690 milliers d'habitants en 2010.

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partie b

Dans cette partie, toutes les valeurs seront arrondies au millième.

1. En 2010 on a noté une population de 154,729 millions d'habitants au Nigeria. On décide alors de faire un ajustement exponentiel.
   Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

   Rang $\left(x_i\right)$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   $z_i=\ln \left(y_i\right)$	3,81	3,92	4,034	4,158	4,311	4,444	4,578	4,705	4,827	4,948

2. Déterminer l'équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

   Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $z=\mathrm{0,129}x+\mathrm{3,662}$ (coefficients arrondis arrondis au millième).

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3. En déduire une expression de la population du Nigeria y en millions d'habitants en fonction du rang x de l'année sous la forme $y=k{\mathrm{e}}^{mx}$.

   $z=\mathrm{0,129}x+\mathrm{3,662}$ et, pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ donc $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,129}x+\mathrm{3,662}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{3,662}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,129}x}\hfill \\ & \text{Soit}& y=\mathrm{38,939}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,129}x}\hfill \end{array}$$

   Une estimation de la population du Nigeria y en millions d'habitants en fonction du rang x de l'année est $y=\mathrm{38,939}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,129}x}$.

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4. Utiliser cet ajustement pour estimer la population du Nigeria en 2010.

   $$\mathrm{38,939}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,129}\times 11}\approx \mathrm{160,934}$$

   Selon cet ajustement, la population du Nigeria est estimée à 160 934 milliers d'habitants en 2010.

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5. D'après l'Institut National d'Études Démographiques (INED) la population du Nigeria devrait dépasser 430 millions d'habitants en 2050.
   Que peut-on penser de cette estimation ?

   Le rang de l'année 2050 est 19 et : $$\mathrm{38,939}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,129}\times 19}\approx \mathrm{451,69}$$

   Le deuxième modèle confirme l'estimation de l'INED.

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