On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé la courbe représentative (C) d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle .
On nomme A le point de (C) d'abscisse et B le point de (C) d'abscisse 0.
Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.
Donner la valeur de .
La tangente à (C) au point A est horizontale d'abscisse donc
Déterminer le signe de
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle donc
Interpréter graphiquement , puis donner sa valeur.
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la la tangente à la courbe (C) au point B d'abscisse 0.
Or la tangente (T) a pour équation
Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale exprimée en unité d'aire.
Sur l'intervalle , la courbe (C) est au dessus de l'axe des abscisses donc l'intégrale mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Or l'aire de ce domaine est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 2 et celle d'un rectangle de côtés 1 et 3.
Donc
La fonction f de la partie A a pour expression .
Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A de la courbe (C).
Le point A de la courbe (C) d'abscisse a pour ordonnée et
L'ordonnée du point A est égale à e.
Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
La fonction f définie sur par est dérivable comme produit de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x de :
D'où pour tout réel x de l'intervalle , on a :
Or pour tout réel x, . Donc sur , est du même signe que l'expression .
D'autre part,
Le tableau de variation de la fonction f est :
x | − 2 | 4 | |||
+ | − | ||||
e |
Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle par est une primitive de f .
La fonction F définie sur par est dérivable comme produit de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x de :
D'où pour tout réel x de l'intervalle , on a :
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction F définie sur l'intervalle par est une primitive de f.
Calculer la valeur exacte de l'intégrale
F est une primitive de la fonction f sur donc
.
Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2 de la partie A.
Ainsi,
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