Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé (O;𝚤,𝚥) la courbe représentative (C) d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [-2;4] .

On nomme A le point de (C) d'abscisse -1 et B le point de (C) d'abscisse 0.

  • La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-2;-1] et strictement décroissante sur l'intervalle [-1;4]
  • La tangente à (C) au point A est horizontale.
  • La droite (T) est la tangente à (C) au point B et a pour équation y=-x+2
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

    1. Donner la valeur de f(-1).

      La tangente à (C) au point A est horizontale d'abscisse -1 donc f(-1)=0


    2. Déterminer le signe de f(2)

      La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-1;4] donc f(2)0


    3. Interpréter graphiquement f(0), puis donner sa valeur.

      Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la la tangente à la courbe (C) au point B d'abscisse 0.

      Or la tangente (T) a pour équation y=-x+2f(0)=-1


  1. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale -10f(x)dx exprimée en unité d'aire.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Sur l'intervalle [-1;0], la courbe (C) est au dessus de l'axe des abscisses donc l'intégrale -10f(x)dx mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=-1.
    Or l'aire de ce domaine est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 2 et celle d'un rectangle de côtés 1 et 3.

    Donc 2-10f(x)dx3


partie b

La fonction f de la partie A a pour expression f(x)=(x+2)e-x.

  1. Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A de la courbe (C).

    Le point A de la courbe (C) d'abscisse -1 a pour ordonnée f(-1) et f(-1)=(-1+2)×e1=e

    L'ordonnée du point A est égale à e.


  2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [-2;4].

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    La fonction f définie sur [-2;4] par f(x)=(x+2)e-x est dérivable comme produit de fonctions dérivables. f=u×v d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de [-2;4] : u(x)=x+2;u(x)=1v(x)=e-x;v(x)=-e-x

    D'où pour tout réel x de l'intervalle [-2;4], on a : f(x)=e-x-(x+2)e-x=(1-x-2)e-x=(-x-1)e-x

    Or pour tout réel x, e-x>0. Donc sur [-2;4], f(x) est du même signe que l'expression (-x-1).

    D'autre part, -x-10x-1

    Le tableau de variation de la fonction f est :

    x− 2 -1 4
    f(x) +0|| 
    f(x)  fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    e

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  
  3. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle [-2;4] par F(x)=(-x-3)e-x est une primitive de f .

    La fonction F définie sur [-2;4] par F(x)=(-x-3)e-x est dérivable comme produit de fonctions dérivables. F=u×v d'où F=uv+uv avec pour tout réel x de [-2;4] : u(x)=-x-3;u(x)=-1v(x)=e-x;v(x)=-e-x

    D'où pour tout réel x de l'intervalle [-2;4], on a : F(x)=-e-x-(-x-3)e-x=(-1+x+3)e-x=(x+2)e-x

    Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [-2;4], F(x)=f(x) donc la fonction F définie sur l'intervalle [-2;4] par F(x)=(-x-3)e-x est une primitive de f.


    1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale -10f(x)dx

      F est une primitive de la fonction f sur [-2;4] donc -10f(x)dx=F(0)-F(-1)=-3e0-(1-3)e1=2e-3

      -10f(x)dx=2e-3.


    2. Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2 de la partie A.

      2e-32,44

      Ainsi, 2-10f(x)dx3



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