Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe (C) d'une fonction f définie sur l'intervalle $[- 3; 2]$ . La courbe (C) coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse − 2 et au point B d'abscisse 1.

Parmi les trois courbes proposées ci-dessous, déterminer la seule qui représente une primitive de f sur l'intervalle $[- 3; 2]$ .

Dire que F est une primitive de la fonction f sur $[- 3; 2]$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $[- 3; 2]$ , $F' (x) = f (x)$ .

Or la courbe (C) coupe l'axe des abscisses au point A d'abscisse − 2 et au point B d'abscisse 1 donc $F' (- 2) = 0$ et $F' (1) = 0$

La courbe (a) est la seule des trois courbes qui admet une tangente horizontale aux points d'abscisse − 2 et au point d'abscisse 1.

La courbe (a) est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F

(a)	(b)	(c)

On admet que l'équation $x e^{2 x - 1} = 2$ n'a qu'une solution α dans $ℝ$ .
Déterminer une valeur approchée de α à 10^{− 2} près.
On ne sait pas résoudre algébriquement l'équation $x e^{2 x - 1} = 2$ . On utilise la calculatrice pour déterminer une solution approchée de cette équation.
Par exemple, la courbe d'équation $y = x e^{2 x - 1} - 2$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x \approx 0,8995$
Une valeur approchée à 10^{− 2} près de α solution de l'équation $x e^{2 x - 1} = 2$ est 0,9.
Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une entreprise produit des tentes. Le coût marginal, en milliers d'euros, pour la production de x centaines de tentes, avec $0 ⩽ x ⩽ 20$ est donné par la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 20]$ par $f (x) = \frac{2}{x + 1}$
On note C la fonction qui représente le coût total exprimé en milliers d'euros pour une production de x centaines de tentes, avec $0 ⩽ x ⩽ 20$ .
On assimile le coût marginal à la dérivée de la fonction coût total, c'est à dire à la dérivée de la fonction C.
Sachant que les coûts fixes sont de 5 000 euros, déterminer le coût total en milliers d'euros, pour une production de x centaines de tentes, avec $0 ⩽ x ⩽ 20$ .
- On assimile le coût marginal à la dérivée de la fonction C donc C est une primitive la fonction f ;
- les coûts fixes sont de 5 000 euros donc C est la primitive la fonction f telle que $C (0) = 5$
Cherchons une primitive de la fonction f
Soit u la fonction définie sur l'intervalle $[0; 20]$ par $u (x) = x + 1$ . Sur cet intervalle, u est strictement positive, dérivable et $u' (x) = 1$ .
Par conséquent, $f = 2 \times \frac{u'}{u}$ avec $u > 0$ .
Une primitive de la fonction f est la fonction C définie sur l'intervalle $[0; 20]$ par $C (x) = 2 \times \ln (x + 1) + c$ Or $C (0) = 5$ d'où $C (x) = 2 \times \ln (1) + c = 5 \Leftrightarrow c = 5$
La fonction qui représente le coût total exprimé en milliers d'euros est la fonction C définie sur l'intervalle $[0; 20]$ par $C (x) = 2 \ln (x + 1) + 5$

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