sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Calculer $p\left(C\right)$.

   Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule A, tandis qu'un client sur deux choisit la formule B, donc $p\left(A\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$ et $p\left(B\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$. Or $$\begin{array}{ccc}p\left(A\right)+p\left(B\right)+p\left(C\right)=1& \iff & p\left(C\right)=1-p\left(A\right)-p\left(B\right)\hfill \\ & \text{Soit}& p\left(C\right)=1-\mathrm{0,2}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,3}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la probabilité qu'un client choisisse la formule C est $p\left(C\right)=\mathrm{0,3}$

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2. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.

   On sait que :

   • Parmi les clients qui choisissent la formule A, une personne sur quatre commande du vin d'où $p_A\left(V\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$ et $p_A\left(\overline{V}\right)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$.
   • Parmi les clients qui choisissent la formule B, deux personnes sur cinq commandent du vin d'où $p_B\left(V\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}=\mathrm{0,4}$ et $p_B\left(\overline{V}\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.
   • Parmi les clients qui choisissent la formule C, deux personnes sur trois commandent du vin $p_C\left(V\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $p_C\left(\overline{V}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   D'où l'arbre de probabilités traduisant la situation :

3. Montrer que $p\left(V\right)=\mathrm{0,45}$.

   Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(V\right)=p\left(A\cap V\right)+p\left(B\cap V\right)+p\left(C\cap V\right)$$

   Or : $$\begin{array}{llll}& p\left(A\cap V\right)=p_A\left(V\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap V\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,05}\\ & p\left(B\cap V\right)=p_B\left(V\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap V\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,2}\\ \text{et}& p\left(C\cap V\right)=p_C\left(V\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap V\right)=\mathrm{0,3}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

   D'où $$p\left(V\right)=\mathrm{0,05}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,45}$$

   Ainsi, la probabilité qu'un client commande du vin est égale à 0,45.

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4. Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule A.

   $$\begin{array}{ccc}{p}_V\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap V\right)}{p\left(V\right)}}& \text{soit}& p_V\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,45}}}={\displaystyle \frac{1}{9}}\end{array}$$

   La probabilité qu'un client choisisse la formule A sachant qu'il a commandé du vin est $p_V\left(A\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}$.

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5. La formule A coûte 8 euros, la formule B coûte 12 euros et la formule C coûte 15 euros. Le vin est en supplément et coûte 3 euros. On note D la dépense en euro d'un client venant manger à midi dans ce restaurant.

   1. Déterminer la loi de probabilité de D.

      Notons dans la marge de l'arbre de probabilités, le montant en euros de la dépense d'un client dans chaque situation :

      Ainsi,

      • $p\left(D=8\right)=p\left(A\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,75}=\mathrm{0,15}$.
      • $p\left(D=11\right)=p\left(A\cap V\right)=\mathrm{0,05}$.
      • $p\left(D=12\right)=p\left(B\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,3}$.
      • $p\left(D=15\right)=p\left(B\cap V\right)+p\left(C\cap \overline{V}\right)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,3}$.
      • $p\left(D=18\right)=p\left(C\cap V\right)=\mathrm{0,2}$.

      D'où le tableau suivant donnant la loi de probabilité de la dépense D en euros d'un client :

      $x_i$	8	11	12	15	18
      $p\left(D=x_i\right)$	0,15	0,05	0,30	0,30	0,20

   2. Calculer la dépense moyenne par client en euro.

      L'espérance mathématique de cette loi est :$$\mathrm{E}=8\times \mathrm{0,15}+11\times \mathrm{0,05}+12\times \mathrm{0,3}+15\times \mathrm{0,3}+18\times \mathrm{0,2}=\mathrm{13,45}$$

      La dépense moyenne par client est de 13,45 €.

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