Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements : l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.

La première année, en 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A. On considère ensuite que 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante, tandis que 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.

Soit n un entier supérieur ou égal à 0.
On note an la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année 2010 + n.
On note bn la proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année 2010 + n.
Enfin on note Pn=(anbn) la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année 2010 + n.

  1. Déterminer P0.

  2. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

  3. Écrire la matrice de transition M asociée à cette situation.

  4. Déterminer la matrice P2. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A.

  5. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, an+1=0,6an+0,1.

    Pour tout entier naturel n, (an+1bn+1)=(anbn)×M avec an+bn=1

  6. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on pose un=4an-1.
    Montrer que la suite (un) est géométrique de raison 0,6. Préciser son premier terme.

  7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, exprimer un en fonction de n. En déduire an en fonction de n.

  8. Calculer la limite de la suite (an) puis interpréter concrètement ce résultat.

    Si a est un réel tel que 0<a<1 alors limn+an=0


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