Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements : l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au jacuzzi. Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.
La première année, en 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A. On considère ensuite que 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année suivante, tandis que 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.
Soit n un entier supérieur ou égal à 0.
On note la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année 2010 + n.
On note la proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année 2010 + n.
Enfin on note la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année 2010 + n.
Déterminer .
Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
Écrire la matrice de transition M asociée à cette situation.
Déterminer la matrice . En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A.
Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0, .
Pour tout entier naturel n, avec
Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on pose .
Montrer que la suite est géométrique de raison 0,6. Préciser son premier terme.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, exprimer en fonction de n. En déduire en fonction de n.
Calculer la limite de la suite puis interpréter concrètement ce résultat.
Si a est un réel tel que alors
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