On considère la fonction f définie sur par .
En écrivant que , déterminer la limite de f en .
Pour tout réel x,
Or et donc par produit, . D'où
Ainsi,
Montrer que où désigne la fonction dérivée de f sur .
La fonction définie sur par est dérivable comme produit de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x de :
D'où pour tout réel , on a:
La fonction f définie sur par est dérivable comme somme de fonctions dérivables et
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Dresser le tableau de variations complet de f sur .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Or pour tout réel x, . Donc sur , et f est strictement croissante.
D'autre part,
Le tableau de variation de la fonction f est :
x | 0 | ||
+ | |||
− 9 |
Montrer que l'équation admet sur une unique solution α.
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
l'équation admet une unique solution α.
Montrer que .
et d'où .
D'après la question précédente, nous pouvons en déduire que
En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de en fonction des valeurs de x sur .
Sur , f est strictement croissante et avec donc :
Sur , et sur l'intervalle , .
Montrer que la fonction g définie sur par est une primitive de f sur .
Soit la fonction dérivée de g :
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , donc g est une primitive de la fonction f sur .
Calculer la valeur exacte de .
g est une primitive de la fonction f sur donc
.
Une entreprise fabrique x milliers d'objets avec x appartenant à .
La fonction f de la 1ère partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaines d'euros. Pour une quantité x donnée, si est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si est négatif, l'entreprise subit une perte.
En utilisant les résultats de la 1ère partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :
À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
sur l'intervalle avec et donc :
l'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir d'une production de 2 041 objets.
L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est le nombre réel m défini par
Arrondie à l'euro près la valeur moyenne du bénéfice est de 20 458 euros.
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