Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1ère partie : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur [0;+[ par f(x)=xex-ex-8.

  1. En écrivant que f(x)=ex(x-1)-8, déterminer la limite de f en + .

    Pour tout réel x, xex-ex-8=ex(x-1)-8

    Or limx+ex=+ et limx+(x-1)=+ donc par produit, limx+ex(x-1)=+. D'où limx+ex(x-1)-8=+

    Ainsi, limx+f(x)=+


  2. Montrer que f(x)=xexf désigne la fonction dérivée de f sur [0;+[.

    La fonction définie sur [0;+[ par h(x)=xex est dérivable comme produit de fonctions dérivables. h=u×v d'où h=uv+uv avec pour tout réel x de [0;+[ : u(x)=x;u(x)=1v(x)=ex;v(x)=ex

    D'où pour tout réel x0, on a: h(x)=ex+xex

    La fonction f définie sur [0;+[ par f(x)=xex-ex-8 est dérivable comme somme de fonctions dérivables et f(x)=ex+xex-ex=xex

    Ainsi, f est la fonction définie sur [0;+[ par f(x)=xex.


  3. Dresser le tableau de variations complet de f sur [0;+[.

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

    Or pour tout réel x, ex>0. Donc sur [0;+[, f(x)>0 et f est strictement croissante.

    D'autre part, f(0)=-e0-8=-9

    Le tableau de variation de la fonction f est :

    x0 +
    f(x) + 
    f(x)

    − 9

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    +

    1. Montrer que l'équation f(x)=0 admet sur [0;+[ une unique solution α.

      Sur l'intervalle [0;+[, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et 0[-9;+[ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      l'équation f(x)=0 admet une unique solution α.


    2. Montrer que 2,040<α<2,041.

      f(2,040)-0,002 et f(2,041)0,014 d'où f(2,040)<0<f(2,041).

      D'après la question précédente, nous pouvons en déduire que 2,040<α<2,041


    3. En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de f(x) en fonction des valeurs de x sur [0;+[.

      Sur [0;+[, f est strictement croissante et f(α)=0 avec 2,040<α<2,041 donc :

      Sur [0;α], f(x)0 et sur l'intervalle [α;+[, f(x)0.


    1. Montrer que la fonction g définie sur [0;+[ par g(x)=xex-2ex-8x est une primitive de f sur [0;+[.

      Soit g la fonction dérivée de g : g(x)=ex+xex-2ex-8=xex-ex-8

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [0;+[, g(x)=f(x) donc g est une primitive de la fonction f sur [0;+[.


    2. Calculer la valeur exacte de 35f(x)dx.

      g est une primitive de la fonction f sur [0;+[ donc 35f(x)dx=g(5)-g(3)=(5e5-2e5-8×5)-(3e3-2e3-8×3)=3e5-e3-16

      35f(x)dx=3e5-e3-16.


2ème partie : Application à une situation économique

Une entreprise fabrique x milliers d'objets avec x appartenant à [0;5].
La fonction f de la 1ère partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaines d'euros. Pour une quantité x donnée, si f(x) est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si f(x) est négatif, l'entreprise subit une perte.
En utilisant les résultats de la 1ère partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

  1. À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?

    f(x)0 sur l'intervalle [α;+[ avec 2,040<α<2,041 et f(2,041)>0 donc :

    l'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir d'une production de 2 041 objets.


  2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
    Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur [3;5] (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [3;5] est le nombre réel m défini par m=15-335f(x)dx=3e5-e3-162204,58

    Arrondie à l'euro près la valeur moyenne du bénéfice est de 20 458 euros.



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