sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n\'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

En pédiatrie (médecine des enfants), des études statistiques sur des enfants de moins de 36 mois ont permis de tracer les deux courbes fournies en annexe. Pour un âge x donné en mois, la courbe inférieure $C_1$ donne le périmètre crânien minimal en centimètres, et la courbe supérieure $C_2$ donne le périmètre crânien maximal en centimètres.
Ces deux courbes sont souvent utilisées pour observer le développement des enfants.

a) Lectures graphiques

À l'aide du graphique fourni en annexe, répondre aux deux questions suivantes en laissant les traits de construction apparents.

1. Un enfant a un périmètre crânien égal à 41 cm.
   Déterminer l'âge minimum et l'âge maximum que peut avoir cet enfant.

   La droite d'équation $y=41$ coupe la courbe $C_1$ au point d'abscisse 2 et la courbe $C_2$ au point d'abscisse 7.

   Avec un périmètre crânien égal à 41 cm, un enfant, a un âge compris entre 3 et 7 mois.

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2. Un enfant a un âge compris entre 15 et 21 mois.
   Déterminer le périmètre crânien minimum et le périmètre crânien maximum que peut avoir cet enfant.

   Le point de la courbe $C_1$ d'abscisse 15 a pour ordonnée 44 et le point de la courbe $C_2$ d'abscisse 22 a pour ordonnée 51.

   Avec un âge compris entre 15 et 21 mois, un enfant a un périmètre crânien compris entre 44 et 51 centimètres.

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b) Étude d'un modèle

1. On considère $z=\ln \left(54-y\right)$ .
   Recopier puis compléter le tableau suivant :

   Âge x (en mois)	0	12	24	36
   z	$\ln \left(18\right)$	$\ln \left(8\right)$	$\ln \left(6\right)$	$\ln \left(4\right)$

2. 1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de z en fonction de x, obtenue par la méthode des moindes carrés.

      Une équation de la droite d'ajustement affine de z en x obtenue par la méthode des moindes carrés est : $z=-\mathrm{0,04}x+\mathrm{2,76}$ (coefficients arrondis arrondis au centième).

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   2. En déduire que $y=54-{\mathrm{e}}^{ax+b}$ avec $a\approx -\mathrm{0,04}$ et $b\approx \mathrm{2,76}$.

      Pour tout réel $y<54$, $$\begin{array}{ccc}z=\ln \left(54-y\right)& \iff & {\mathrm{e}}^z=54-y\hfill \\ & \text{Soit}& y=54-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}x+\mathrm{2,76}}\end{array}$$

      Ainsi, $y=54-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}x+\mathrm{2,76}}$.

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c) Utilisation du modèle précédent

Dans cette partie, on utilisera le modèle établi dans la question 2. b) de la partie B.

1. Un enfant a un périmètre crânien de 53 cm.
   Déterminer par le calcul une approximation de l'âge en mois de cet enfant.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}54-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}x+\mathrm{2,76}}=53& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}x+\mathrm{2,76}}=1\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,04}x+\mathrm{2,76}=0\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{\mathrm{2,76}}{\mathrm{0,04}}}=69\hfill \end{array}$$

   Selon ce modèle, un enfant a un périmètre crânien de 53 cm à 69 mois.

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2. Les scientifiques estiment que la structure osseuse crânienne se rigidifie dès l'âge de 15 ans, le périmètre crânien cesse alors de croître.
   Déterminer par le calcul une approximation du périmètre crânien correspondant. Arrondir au centimètre près.

   L'âge en mois équivalent à 15 ans est :$$15\times 12=180$$ et :$$54-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}\times 180+\mathrm{2,76}}\approx \mathrm{53,99}$$

   À 15 ans, le périmètre crânien est d'environ 54 cm.

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