sujet : Liban

indications pour l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1^ère partie : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x-8$.

1. En écrivant que $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\left(x-1\right)-8$, déterminer la limite de f en $+\infty$ .

2. Montrer que $f\prime \left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x$ où $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

3. Dresser le tableau de variations complet de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

4. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet sur $\left[0;+\infty \right[$ une unique solution α.

      théorème de la valeur intermédiaire

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   2. Montrer que $\mathrm{2,040}<\alpha <\mathrm{2,041}$.

   3. En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de $f\left(x\right)$ en fonction des valeurs de x sur $\left[0;+\infty \right[$.

5. 1. Montrer que la fonction g définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^x-2{\mathrm{e}}^x-8x$ est une primitive de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

      Dire que g est une primitive de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   2. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

2^ème partie : Application à une situation économique

Une entreprise fabrique x milliers d'objets avec x appartenant à $\left[0;5\right]$.
La fonction f de la 1^ère partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaines d'euros. Pour une quantité x donnée, si $f\left(x\right)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f\left(x\right)$ est négatif, l'entreprise subit une perte.
En utilisant les résultats de la 1^ère partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1. À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?

2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
   Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $\left[3;5\right]$ (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

   définition

   Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

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