Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires :

une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle « couleur-soin »,
des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle « effet coup de soleil ».

Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations :

40% des clientes demandent une « couleur-soin ».
parmi celles qui n'en veulent pas, 30% des clientes demandent un « effet coup de soleil ».
de plus, 24% des clientes demandent les deux à la fois.

On considère une de ces clientes.
On notera C l'évènement « la cliente souhaite une "couleur-soin" ».
On notera M l'évènement « la cliente souhaite un "effet coup de soleil" ».

Calculer la probabilité de M sachant C notée $P_{C} (M)$ .
$\begin{matrix} P_{C} (M) = \frac{P (M \cap C)}{P (C)} & soit & P_{C} (M) = \frac{0,24}{0,4} = 0,6 \end{matrix}$
La probabilité qu'une cliente qui a demandé une « couleur-soin » souhaite un « effet coup de soleil » est égale à 0,6.
Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.
- 40% des clientes demandent une « couleur-soin » d'où $P (C) = 0,4$ et $P (\bar{C}) = 0,6$
- 30% des clientes qui ne veulent pas une « couleur-soin » demandent un « effet coup de soleil » d'où $P_{\bar{C}} (M) = 0,3$ et $P_{\bar{C}} (\bar{M}) = 0,7$ .
D'où l'arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé :
Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».
$\begin{matrix} P (\bar{C} \cap \bar{M}) = P_{\bar{C}} (\bar{M}) \times P (\bar{C}) & soit & P (\bar{C} \cap \bar{M}) = 0,7 \times 0,6 = 0,42 \end{matrix}$
La probabilité que la cliente ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil » est égale à 0,42.
Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à 0,42.
Les évènements C et M déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $P (M) = P (M \cap C) + P (M \cap \bar{C})$
Or $\begin{matrix} P (M \cap \bar{C}) = P_{\bar{C}} (M) \times P (\bar{C}) & soit & P (M \cap \bar{C}) = 0,6 \times 0,3 = 0,18 \end{matrix}$
Donc $P (M) = 0,24 + 0,18 = 0,42$
Ainsi, la probabilité de l'évènement M est égale à 0,42.
Les évènements C et M sont-ils indépendants ?
$P (M) = 0,42$ et $P_{C} (M) = 0,6$ donc :
les évènements C et M ne sont pas indépendants .
Une « couleur-soin » coûte 35 euros et un « effet coup de soleil » coûte 40 euros.
1. Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :
  - À l'évènement $(M \cap \bar{C})$ est associé coût de 40 euros.
  - À l'évènement $(C \cap \bar{M})$ est associé coût de 35 euros. Or $P (C \cap \bar{M}) = 0,4 \times 0,4 = 0,16$
  - À l'évènement $(\bar{C} \cap \bar{M})$ est associé coût nul.
  D'où le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :
  $x_{i}$ 75 40 35 0
  $p_{i}$ 0,24 0,18 0,16 0,42
2. Donner l'espérance E de cette loi.
  L'espérance mathématique de cette loi est : $E = 75 \times 0,24 + 40 \times 0,18 + 35 \times 0,16 = 30,8$
  L'espérance mathématique de cette loi est égale à 30,8
3. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
  Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un « effet coup de soleil » pour que l'espérance de gain par client augmente de 15% ?
Soit x le montant en euros d'un « effet coup de soleil ». La loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client est alors :
$x_{i}$ $35 + x$ x 35 0
$p_{i}$ 0,24 0,18 0,16 0,42
L'espérance mathématique de cette loi est : $E_{2} = (35 + x) \times 0,24 + 0,18 x + 35 \times 0,16 = 0,42 x + 14$
L'espérance de gain par client augmente de 15% pour x solution de l'équation $\begin{matrix} 0,42 x + 14 = 1,15 \times 30,8 & \Leftrightarrow & x = \frac{21,42}{0,42} = 51 \end{matrix}$
Pour que l'espérance de gain par client augmente de 15%, le coloriste doit facturer à 51 euros la réalisation d'un « effet coup de soleil ».

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$x_{i}$	75	40	35	0
$p_{i}$	0,24	0,18	0,16	0,42

$x_{i}$	$35 + x$	x	35	0
$p_{i}$	0,24	0,18	0,16	0,42