sujet : Liban

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires :

• une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle « couleur-soin »,
• des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle « effet coup de soleil ».

Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations :

• 40% des clientes demandent une « couleur-soin ».
• parmi celles qui n'en veulent pas, 30% des clientes demandent un « effet coup de soleil ».
• de plus, 24% des clientes demandent les deux à la fois.

On considère une de ces clientes.
On notera C l'évènement « la cliente souhaite une "couleur-soin" ».
On notera M l'évènement « la cliente souhaite un "effet coup de soleil" ».

1. Calculer la probabilité de M sachant C notée $P_C\left(M\right)$.

2. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.

3. Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».

4. Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à 0,42.

5. Les évènements C et M sont-ils indépendants ?

6. Une « couleur-soin » coûte 35 euros et un « effet coup de soleil » coûte 40 euros.

   1. Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :

      • À l'évènement $\left(M\cap \overline{C}\right)$ est associé coût de 40 euros.
      • À l'évènement $\left(C\cap \overline{M}\right)$ est associé coût de 35 euros.
      • À l'évènement $\left(\overline{C}\cap \overline{M}\right)$ est associé coût nul.

      $x_i$	75	40	35	0
      $p_i$	0,24

   2. Donner l'espérance E de cette loi.

   3. Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un « effet coup de soleil » pour que l'espérance de gain par client augmente de 15% ?

   Soit x le montant en euros d'un « effet coup de soleil ». La loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client est alors :

   $x_i$	$35+x$	x	35	0
   $p_i$	0,24

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