Baccalauréat mai 2012 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

indications pour l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10^− 2 près.

Cet exercice consiste à étudier la propagation d'une information d'une personne à l'autre, thème souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-à-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire.

Dans cet exercice, on considère l'information suivante, notée E : « Paul a réussi son examen ».

partie a : propagation symétrique ( de type « neutre »)

Dans cette partie, on suppose que, pour une information reçue (E ou $\bar{E}$ ), la probabilité de communiquer cette information à l'identique vaut 0,9 et la probabilité de relayer l'information contraire vaut 0,1.

On note $p_{n}$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de n étapes (n étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_{n}$ la probabilité de recevoir l'information $\bar{E}$ au bout de n étapes.
On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_{0} = 1$ et $q_{0} = 0$ .

Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif à la propagation de l'information suivant :
Préciser la matrice de transition M telle que $(\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) M$
À l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel n tel que $p_{n} < 0,8$ .
Déterminer par le calcul, l'état stable.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas de nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} p & q \end{matrix})$ avec $p + q = 1$ indépendant de l'état initial.

partie b : propagation asymétrique ( de type « rumeur »)

Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale à 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur $\bar{E}$ . Dans ces conditions, on suppose que si l'information reçue est $\bar{E}$ , la probabilité de transmettre cette information $\bar{E}$ est égale à 1.
On suppose de nouveau que $p_{0} = 1$ et $q_{0} = 0$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
Préciser la matrice de transition N telle que $(\begin{matrix} p_{n + 1} & q_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} & q_{n} \end{matrix}) N$ .
Montrer que $p_{n + 1} = 0,9 p_{n}$ . Quelle est la nature de la suite $(p_{n})$ ?
Exprimer $p_{n}$ en fonction de n.
Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel n tel que $p_{n} < 0,5$ .
Déterminer la limite de $(p_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ puis interpréter le résultat obtenu.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.