Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2013

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1^er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

partie a

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année 2013 + n. On donne $u_{0} = 42$ .

Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = u_{n} \times 0,95 + 6$ .
$u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année 2013 + n et chaque année, la bibliothécaire supprime 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et achète 6000 ouvrages neufs d'où $u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{5}{100}) + 6 = 0,95 u_{n} + 6$
Le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année 2013 + n peut être modélisé par la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 42$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,95 u_{n} + 6$ .
On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
variables :
U, N
initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
traitement :
Tant que $U < 100$
U prend la valeur $U \times 0,95 + 6$
N prend la valeur $N + 1$
Fin du Tant que
sortie :
Afficher N
L'objet de cet algorithme, est la suite $(u_{n})$ .
- L'initialisation « Mettre 42 dans U » correspond au terme initial $u_{0} = 42$
- L'affectation « U prend la valeur $U \times 0,95 + 6$ » correspond à la relation de récurrence $u_{n + 1} = u_{n} \times 0,95 + 6$ .
- La condition de poursuite de la boucle Tant que est $U < 100$ . Cette boucle se termine donc quand $U ⩾ 100$ .
Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier n tel que $u_{n} ⩾ 100$ . C'est à dire, l'année 2013 + n à partir de laquelle la médiathèque disposera d'un stock supérieur à 100 000 ouvrages.
À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.
La calculatrice affiche 27. Donc à partir de 2040, la médiathèque disposera d'un stock supérieur à 100 000 ouvrages.

partie b

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus.
On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année 2013 + n.

Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
On modifie ainsi l'intruction : U prend la valeur $U \times 0,95 + 4$ .
On admet que $v_{n + 1} = v_{n} \times 0,95 + 4$ avec $v_{0} = 42$ . On considère la suite $(w_{n})$ définie, pour tout entier n, par $w_{n} = v_{n} - 80$ . Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$ .
Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & v_{n + 1} - 80 \\ = & 0,95 v_{n} + 4 - 80 \\ = & 0,95 v_{n} - 76 \\ = & 0,95 \times (v_{n} - 80) \\ = & 0,95 w_{n} \end{array}$
Pour tout entier n, $w_{n + 1} = 0,95 w_{n}$ alors la suite $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95.
Calculons le premier terme de la suite $(w_{n})$ : $\begin{matrix} w_{0} = v_{0} - 80 & Soit & w_{0} = 42 - 80 = - 38 \end{matrix}$
Ainsi, la suite $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $w_{0} = - 38$ .
On admet que, pour tout entier naturel n : $w_{n} = - 38 \times {0,95}^{n}$ .
1. Déterminer la limite de $(w_{n})$ .
  $0 < 0,95 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,95}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} - 38 \times {0,95}^{n} = 0$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 0$ .
  La suite $(w_{n})$ converge vers 0.
2. En déduire la limite de $(v_{n})$ .
  Comme pour tout entier n, $w_{n} = v_{n} - 80$ alors $v_{n} = w_{n} + 80$ . Soit pour tout entier naturel n : $v_{n} = 80 - 38 \times {0,95}^{n}$ .
  $\lim_{n \to + \infty} - 38 \times {0,95}^{n} = 0$ d'où $\lim_{n \to + \infty} 80 - 38 \times {0,95}^{n} = 80$
  La suite $(v_{n})$ converge vers 80.
3. Interpréter ce résultat.
  À partir d'un certain nombre d'années, la médiathèque disposera chaque année d'un stock proche de 80 000 ouvrages.

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