Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2013

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront donnés à $10^{- 3}$ près.

Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge moyen d'un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X, qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12.
1. Calculer la probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans.
  X, suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12. Avec la calculatrice, on obtient : $P (30 ⩽ X ⩽ 35) \approx 0,133$
  La probabilité que le client demandeur d'un prêt soit d'un âge compris entre 30 et 35 ans est égale 0,133.
2. Calculer la probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans.
  La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P (a ⩽ X ⩽ b)$ quand X suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart type 12 : $\begin{matrix} P (X > 55) & = & P (X ⩾ 40,5) - P (40,5 ⩽ X ⩽ 55) \\ = & 0,5 - P (40,5 ⩽ X ⩽ 55) \\ \approx & 0,113 \end{matrix}$
  La probabilité que le client n'ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans est égale à 0,113.
Dans un slogan publicitaire, la banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées.
Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêt immobilier acceptées.
1. Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque.
  $n = 1000$ , $n p = 750$ et $n (1 - p) = 250$ . Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $\begin{matrix} I = [0,75 - 1,96 \times \sqrt{\frac{0,75 \times 0,25}{1000}}; 0,75 + 1,96 \times \sqrt{\frac{0,75 \times 0,25}{1000}}] \end{matrix}$
  Soit en arrondissant à $10^{- 3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de prêts acceptés par la banque est $I = [0,723; 0,777]$ .
2. Dans une agence de cette banque, on a observé que, sur les 1000 dernières demandes effectuées, 600 demandes ont été acceptées.
  Énoncer une règle de décision permettant de valider ou non le slogan publicitaire de la banque, au niveau de confiance 95 %.
  Soit f la fréquence observée du nombre de demandes de prêts immobiliers acceptées dans un échantillon de taille 1000
  - Si f appartient à l'intervalle I on accepte l'hypothèse du slogan publicitaire.
  - Si f n'appartient pas à l'intervalle I on rejette l'hypothèse du slogan publicitaire.
3. Que peut-on penser du slogan publicitaire de la banque ?
  On considère que les 1000 dernières demandes effectuées constituent un échantillon aléatoire de taille 1000 de l'ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès ce cette banque.
  La fréquence observée dans cet échantillon est $f = \frac{600}{1000} = 0,6$ .
  0,6 n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On rejette l'hypothèse selon laquelle « 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées » avec un risque d'erreur de 5%.

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