Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2013

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.
Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on note $a_{n}$ la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et $b_{n}$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n-ième jour. On a donc : $a_{n} + b_{n} = 1$ .
Le 1^er jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_{1} = 0$ .

1. Traduire les données par un graphe probabiliste.
  Notons A l'état probabiliste « Léa s'est connectée » et B l'état probabiliste « Léa ne s'est pas connectée ». On considère que :
  Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,9 d'où $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0,9$ et $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,1$
  Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8 d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,8$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 0,2$
  D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
2. Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.
  La matrice de transition M de ce graphe telle que $(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,8 & 0,2 \end{matrix})$ .
3. Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.
  Le 1^er jour, Léa ne s'est pas connectée donc l'état intial est $P_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix})$ . L'état $P_{3}$ au troisième jour est : $\begin{matrix} P_{3} = P_{1} \times M^{2} & Soit & P_{3} = (\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,8 & 0,2 \end{matrix})}^{2} & \Leftrightarrow & P_{3} = (\begin{matrix} 0,88 & 0,12 \end{matrix}) \end{matrix}$
  La probabilité que Léa se connecte le troisième jour est égale à 0,88.
Démontrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , on a : $a_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,8$ .
Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\begin{matrix} P_{n + 1} = P_{n} \times M & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,8 & 0,2 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 a_{n} + 0,8 b_{n} & 0,1 a_{n} + 0,2 b_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit $a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 0,8 b_{n}$ avec pour tout entier $n ⩾ 1$ , $a_{n} + b_{n} = 1$ . D'où $a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 0,8 \times (1 - a_{n}) = 0,1 a_{n} + 0,8$
Ainsi, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $a_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,8$ .
On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier $n ⩾ 1$ , par $u_{n} = a_{n} - \frac{8}{9}$ .
1. Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.
  Pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\begin{matrix} u_{n + 1} = a_{n + 1} - \frac{8}{9} & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,8 - \frac{8}{9} \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,1 a_{n} - \frac{4}{45} \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,1 \times (a_{n} - \frac{8}{9}) \\ \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,1 u_{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $u_{n + 1} = 0,1 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,1. Or $\begin{matrix} u_{1} = a_{1} - \frac{8}{9} & Soit & u_{1} = - \frac{8}{9} \end{matrix}$
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,1 et de premier terme $u_{1} = - \frac{8}{9}$ .
2. Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de n.
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,1$ et de premier terme $u_{1} = - \frac{8}{9}$ alors, pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\begin{matrix} u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1} & Soit & u_{n} = - \frac{8}{9} \times {0,1}^{n - 1} \end{matrix}$
  Or pour tout entier $n ⩾ 1$ , $\begin{matrix} u_{n} = a_{n} - \frac{8}{9} & \Leftrightarrow & a_{n} = u_{n} + \frac{8}{9} \\ \Leftrightarrow & a_{n} = - \frac{8}{9} \times {0,1}^{n - 1} + \frac{8}{9} \\ \Leftrightarrow & a_{n} = - \frac{80}{9} \times {0,1}^{n} + \frac{8}{9} \end{matrix}$
  Donc pour tout entier $n ⩾ 1$ , $a_{n} = - \frac{80}{9} \times {0,1}^{n} + \frac{8}{9}$ .
1. Déterminer en justifiant la limite de $(a_{n})$ .
  $0 < 0,1 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,1}^{n} = 0$ d'où $\lim_{n \to + \infty} - \frac{80}{9} \times {0,1}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} - \frac{80}{9} \times {0,1}^{n} + \frac{8}{9} = \frac{8}{9}$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = \frac{8}{9}$ .
  La suite $(a_{n})$ converge vers $\frac{8}{9}$ .
2. Interpréter ce résultat.
  La suite $(a_{n})$ converge vers $\frac{8}{9}$ donc à partir d'un certain nombre de jours, la probabilité que Léa se connecte chaque jour est égale à $\frac{8}{9}$ .

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