sujet : Amérique du Nord 2013

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur $ℝ$ dont la courbe représentative $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé.

partie a

1. Par lecture graphique, indiquer les valeurs de $f\left(2\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   • Le point $D\left(2;0\right)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f\left(2\right)=0$

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   • La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;2\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(0\right)=0$

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   f est dérivable sur $ℝ$ comme produit de deux fonctions dérivables. $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=b-x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{ax}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=a{\mathrm{e}}^{ax}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^{ax}+a\left(b-x\right){\mathrm{e}}^{ax}\hfill \\ & =& \left(ab-1-ax\right){\mathrm{e}}^{ax}\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(ab-1-ax\right){\mathrm{e}}^{ax}$

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3. En utilisant les questions précédentes, montrer que a et b sont solutions du système suivant : $\{\begin{array}{c}b-2=0\hfill \\ ab-1=0\hfill \end{array}$.

   • $f\left(2\right)=0$ d'où $\left(b-2\right){\mathrm{e}}^{2a}=0$. Soit $b-2=0$

   • $f\prime \left(0\right)=0$ d'où $\left(ab-1\right){\mathrm{e}}^0=0$. Soit $ab-1=0$

   Ainsi, a et b sont solutions du système $\{\begin{array}{c}b-2=0\hfill \\ ab-1=0\hfill \end{array}$

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4. Calculer a et b et donner l'expression de $f\left(x\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}b-2=0\hfill \\ ab-1=0\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}b=2\hfill \\ a={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}\end{array}$$

   f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$.

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partie b

On admet que $f\left(x\right)=\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$.

1. À l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est comprise entre 2 et 4.

   • D'après la figure, la courbe $C_f$ est situé au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$ donc la fonction f est positive sur cet intervalle. Par conséquent, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   • D'autre part, l'aire S, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est comprise entre l'aire du carré OACD de côté 2 et l'aire du triangle rectangle isocèle OAD. Soit $2⩽S⩽4$.

   Ainsi, $2⩽{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽4$.

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2. 1. On considère F la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\left(-2x+8\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

      F est dérivable sur $ℝ$ comme produit de deux fonctions dérivables. $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-2x+8\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-2\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\times \left(-2x+8\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& \left(-2-x+4\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& \left(2-x\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$$

      Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\left(-2x+8\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$ est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

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   2. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ et en donner une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

      F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ d'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& 4{\mathrm{e}}^1-8{\mathrm{e}}^0\hfill \\ & =& 4\mathrm{e}-8\hfill \end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4\mathrm{e}-8$ soit arrondie au centième près ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx \mathrm{2,87}$.

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3. On considère G une autre primitive de f sur $ℝ$.
   Parmi les trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.

   G est une primitive de f sur $ℝ$. Par conséquent, les variations de G se déduisent du signe de sa dérivée $f\left(x\right)=\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$.

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}>0$, $f\left(x\right)$ est du même signe que $-x+2$. D'où le tableau des variations de G :

   x	− ∞		2		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $G\left(x\right)$

   $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction G.

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