Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Amérique du Nord 2013

énoncé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.
Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on note $a_{n}$ la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et $b_{n}$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n-ième jour. On a donc : $a_{n} + b_{n} = 1$ .
Le 1^er jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_{1} = 0$ .

1. Traduire les données par un graphe probabiliste.
2. Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.
3. Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.
Démontrer que, pour tout entier $n ⩾ 1$ , on a : $a_{n + 1} = 0,1 a_{n} + 0,8$ .
On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier $n ⩾ 1$ , par $u_{n} = a_{n} - \frac{8}{9}$ .
1. Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.
2. Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de n.
1. Déterminer en justifiant la limite de $(a_{n})$ .
2. Interpréter ce résultat.

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