sujet : Amérique du Nord 2013

énoncé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.

On considère que :

• Si Léa s'est connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,9.
• Si Léa ne s'est pas connectée un certain jour, la probabilité qu'elle se connecte le lendemain est égale à 0,8.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $a_n$ la probabilité que Léa se connecte le n-ième jour et $b_n$ la probabilité qu'elle ne se connecte pas le n-ième jour. On a donc : $a_n+b_n=1$.
Le 1^er jour, Léa ne s'est pas connectée, on a donc $a_1=0$.

1. 1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

   2. Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.

   3. Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.

2. Démontrer que, pour tout entier $n⩾1$, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,1}{a}_n+\mathrm{0,8}$.

3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier $n⩾1$, par $u_n=a_n-{\displaystyle \frac{8}{9}}$.

   1. Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.

   2. Exprimer $u_n$ puis $a_n$ en fonction de n.

4. 1. Déterminer en justifiant la limite de $\left(a_n\right)$.

   2. Interpréter ce résultat.

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