Baccalauréat 2013 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Nord 2013

indications pour l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d'ouvrir une médiathèque qui pourra contenir 100 000 ouvrages au total.
Pour l'ouverture prévue le 1^er janvier 2013, la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l'ancienne bibliothèque augmenté de 7000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

partie a

Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d'acheter 6000 ouvrages neufs.
On appelle $u_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année 2013 + n. On donne $u_{0} = 42$ .

Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = u_{n} \times 0,95 + 6$ .
On propose, ci-dessous, un algorithme, en langage naturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.
variables :
U, N
initialisation :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
traitement :
Tant que $U < 100$
U prend la valeur $U \times 0,95 + 6$
N prend la valeur $N + 1$
Fin du Tant que
sortie :
Afficher N

À l'aide de votre calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme.

On peut utiliser les fonctionnalités des calculatrices en mode SUITE

Texas	Casio
Choisir le mode SUITE ou SEQ nMin =0 u(n)=0.95*u(n-1)+6 (u s'obtient via 2nde 7) u(nMin)=100 Les valeurs de la suite s'obtiennent dans table	Choisir le menu RECUR Selectionner an+1 Dans SET définir le nombre de termes calculés et le terme initial a₀ : 42 Entrer la formule de récurrence an+1=0.95*an+6 (via F2) Les valeurs de la suite s'obtiennent par TBL

ou programmer l'algorithme sur la calculatrice
Texas Casio
: 42 → U
: 0 → N
: While U < 100
: 0.95 * U + 6 → U
: N+1 → N
: End
: Disp N
42 → U ↵
0 → N ↵
While U < 100 ↵
0.95 * U + 6 → U ↵
N+1 → N ↵
WhileEnd ↵
N ◢

Texas	Casio
: 42 → U : 0 → N : While U < 100 : 0.95 * U + 6 → U : N+1 → N : End : Disp N	42 → U ↵ 0 → N ↵ While U < 100 ↵ 0.95 * U + 6 → U ↵ N+1 → N ↵ WhileEnd ↵ N ◢

partie b

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus.
On appelle $v_{n}$ le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1^er janvier de l'année 2013 + n.

Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
On admet que $v_{n + 1} = v_{n} \times 0,95 + 4$ avec $v_{0} = 42$ . On considère la suite $(w_{n})$ définie, pour tout entier n, par $w_{n} = v_{n} - 80$ .
Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_{0}$ .
On admet que, pour tout entier naturel n : $w_{n} = - 38 \times {0,95}^{n}$ .
1. Déterminer la limite de $(w_{n})$ .
2. En déduire la limite de $(v_{n})$ .
3. Interpréter ce résultat.

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indifférent :

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