sujet : France métropolitaine, la Réunion 2015

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

partie a

1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.

   • La clientèle est composée de 42 % de femmes d'où $p\left(F\right)=\mathrm{0,42}$ et $p\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,42}=\mathrm{0,58}$
   • 35 % des femmes qui entrent dans le magasin y effectuent un achat, alors que cette proportion est de 55 % pour les hommes d'où $p_F\left(\overline{R}\right)=\mathrm{0,35}$ et $p_{\overline{F}}\left(\overline{R}\right)=\mathrm{0,55}$. On en déduit que : $p_F\left(R\right)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$ et $p_{\overline{F}}\left(R\right)=1-\mathrm{0,55}=\mathrm{0,45}$.

   L'arbre pondéré qui illustre la situation est :

2. Calculer la probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap R\right)=p_F\left(R\right)\times p\left(F\right)& \text{soit}& p\left(F\cap R\right)=\mathrm{0,65}\times \mathrm{0,42}=\mathrm{0,273}\end{array}$$

   La probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin soit une femme et qu'elle reparte sans rien acheter est égale à 0,273.

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3. Montrer que $p\left(R\right)=\mathrm{0,534}$.

   D'après la formule des probabilités totales : $p\left(R\right)=p\left(F\cap R\right)+p\left(\overline{F}\cap R\right)$. Or $p\left(\overline{F}\cap R\right)=p_{\overline{F}}\left(R\right)\times p\left(\overline{F}\right)$ d'où $$p\left(R\right)=\mathrm{0,273}+\mathrm{0,45}\times \mathrm{0,58}=\mathrm{0,584}$$

   La probabilité que la personne qui est entrée dans le magasin reparte sans rien acheter est égale à 0,584.

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partie b

Un client du magasin s'inquiète de la durée de vie du téléphone de type T₁ qu'il vient de s'offrir.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone mobile de type T₁ prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de vie, en mois.
On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =48$ et d'écart-type $\sigma =10$.

1. Justifier que la probabilité que le téléphone de type T₁ prélevé fonctionne plus de 3 ans, c'est-à-dire 36 mois, est d'environ 0,885.

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩾36\right)& =& P\left(36⩽X⩽48\right)+P\left(X⩾45\right)\\ & =& P\left(36⩽X⩽48\right)+\mathrm{0,5}\approx \mathrm{0,885}\end{array}$$

   La probabilité que le téléphone prélevé fonctionne plus de 3 ans est d'environ 0,885.

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2. On sait que le téléphone de type T₁ prélevé a fonctionné plus de 3 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne moins de 5 ans ?

   Il s'agit de déterminer la probabilité conditionnelle que le téléphone fonctionne moins de 5 ans sachant qu'il a fonctionné plus de 3 ans :$$P_{\left(X⩾36\right)}\left(X⩽60\right)={\displaystyle \frac{P\left(\left(X⩾36\right)\cap \left(X⩽60\right)\right)}{P\left(X⩾36\right)}}={\displaystyle \frac{P\left(36⩽X⩽60\right)}{P\left(X⩾36\right)}}\approx \mathrm{0,870}$$

   La probabilité qu'un téléphone qui a fonctionné plus de 3 ans fonctionne moins de 5 ans est environ 0,870.

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partie c

Le gérant du magasin émet l'hypothèse que 30 % des personnes venant au magasin achètent uniquement des accessoires (housse, chargeur, …).
Afin de vérifier son hypothèse, le service marketing complète son étude.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1500.

   Comme $n=1500$, $n\times p=1500\times \mathrm{0,3}=450$ et $n\times \left(1-p\right)=1500\times \mathrm{0,7}=1050$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,3}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}{1500}}};\mathrm{0,3}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}{1500}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de personnes ayant uniquement acheté des accessoires dans un échantillon de taille 1500 est $I=\left[\mathrm{0,276};\mathrm{0,324}\right]$.

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2. Le service marketing interroge un échantillon de 1500 personnes. L'étude indique que 430 personnes ont acheté uniquement des accessoires. Doit-on rejeter au seuil de 5 % l'hypothèse formulée par le gérant ?

   La fréquence observée de personnes qui ont acheté uniquement des accessoires dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{430}{1500}}\approx \mathrm{0,287}$

   La fréquence des personnes qui ont acheté uniquement des accessoires dans l'échantillon appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc on accepte au seuil de 5 % l'hypothèse formulée par le gérant.

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