Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2018

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On définit deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ par, pour tout entier naturel n $\begin{matrix} {\begin{array}{lcl} u_{0} & = & 10 \\ u_{n + 1} & = & u_{n} + 0,4 \end{array} & et & {\begin{array}{lcl} v_{0} & = & 8 \\ v_{n + 1} & = & 1,028 v_{n} \end{array} \end{matrix}$

1. Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique ; donner leurs raisons respectives.
  $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r = 0,4$ et $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 1,028$ .
2. Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel n.
  $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r = 0,4$ et de premier terme $u_{0} = 10$ alors, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 10 + 0,4 n$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 1,028$ et de premier terme $v_{0} = 8$ alors, pour tout entier naturel n, $v_{n} = 8 \times {1,028}^{n}$ .
On donne l'algorithme suivant dans lequel n est un entier naturel, et U et V sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang n des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ :
$n \leftarrow 0$
$U \leftarrow 10$
$V \leftarrow 8$
Tant que $U > V$
$U \leftarrow U + 0,4$
$V \leftarrow V \times 1,028$
$n \leftarrow n + 1$
Fin Tant que
En sortie de cet algorithme, n a pour valeur 46. Interpréter ce résultat.
L'algortihme permet d'obtenir le plus petit entier n tel que $u_{n} ⩽ v_{n}$ .
Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont strictement croissantes donc pour tout entier naturel $n ⩾ 46$ on a $u_{n} ⩽ v_{n}$ .
En 1798, l'économiste anglais Thomas Malthus publie « An essay on the principle of population » dans lequel il émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine. Il écrit :
« Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n'est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. […] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l'état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l'industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique. »
En 1800, la population de l'Angleterre était estimée à 8 millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de 2,8 % chaque année et que les progrès de l'agriculture permettent de nourrir 0,4 million de personnes de plus chaque année.
On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
1. Quelle aurait été, en million d'habitants, la population de l'Angleterre en 1810 ? On arrondira le résultat au millième.
  L'évolution de la population est modélisée par la suite $(v_{n})$ où $v_{n}$ est le nombre de millions d'habitants l'année $1800 + n$ . $v_{10} = 8 \times {1,028}^{10} \approx 10,544$
  Selon ce modèle, la population de l'Angleterre en 1810 aurait été de 10,544 millions d'habitants.
2. À partir de quelle année la population de l'Angleterre aurait-elle dépassé 16 millions d'habitants ?
  On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $v_{n} > 16$ : $\begin{array}{rcll} 8 \times {1,028}^{n} > 16 & \Leftrightarrow & {1,028}^{n} > 2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,028}^{n}) > \ln 2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,028 > \ln 2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 2}{\ln 1,028} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 2}{\ln 1,028} \approx 25,1$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $v_{n} > 16$ est $n = 26$ .
  La population de l'Angleterre aurait dépassé 16 millions d'habitants en 1826.
3. À partir de quelle année la population de l'Angleterre serait-elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
  L'évolution de la population pouvant être nourrie par la production agricole est modélisée par la suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ est le nombre de millions de personnes pouvant être nourrie par son agriculture l'année $1800 + n$ . D'après le résultat de l'algorithme $u_{n} ⩽ v_{n}$ pour $n ⩾ 46$ .
  La population de l'Angleterre serait devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture en 1846.

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