Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats


Courbe $𝒞_{f}$	Courbe $𝒞_{f'}$	Courbe $𝒞_{f ″}$

On donne ci-dessus la courbe $𝒞_{f}$ représentative dans un repère donné d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 5]$ ainsi que les courbes représentatives $𝒞_{f'}$ et $𝒞_{f ″}$ respectivement de la dérivée $f'$ et de la dérivée seconde $f ″$ de la fonction f.

partie a

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l'aide de lectures graphiques.

Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la fonction f semble atteindre son maximum.
La fonction f atteint son maximum en $x_{0}$ avec $1 ⩽ x_{0} ⩽ 2$ .
1. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction f semble convexe.
  La dérivée seconde $f ″$ est positive sur l'intervalle $[3; 5]$ donc :
  La fonction f est convexe sur l'intervalle $[3; 5]$ .
2. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $𝒞_{f}$ admet un point d'inflexion.
  Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l'abscisse de ce point d'inflexion.
  La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x_{1} \in [2; 3]$ .
  La courbe $𝒞_{f}$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2 ⩽ x_{1} ⩽ 3$ .
Parmi les équations suivantes quelle est l'équation de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 0 ?
$y = x$ $y = 2 x + 1$ $y = 2 x$ $y = \frac{3}{4} x$
Une équation de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 0 est : $\begin{matrix} y = f' (0) \times (x - 0) + f (0) & soit & y = 2 x \end{matrix}$
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y = 2 x$ .
On note $I = \int_{0}^{1} f' (x) d x$ où $f'$ est la fonction dérivée de f. Comment s'interprète graphiquement ce nombre I ?
Sur l'intervalle $[0; 1]$ la dérivée $f'$ est positive donc :
l'intégrale $I = \int_{0}^{1} f' (x) d x$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞_{f'}$ , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$ .

partie b

La fonction f représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0; 5]$ par $f (x) = (x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

Montrer que la dérivée $f'$ de f est définie par $f' (x) = (- x^{2} + 2) e^{- x}$ pour tout réel x de l'intervalle $[0; 5]$ .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
$f = u v$ d'où $f' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[0; 5]$ : ${\begin{array}{lcl} u (x) = x^{2} + 2 x & ; & u' (x) = 2 x + 2 \\ v (x) = e^{- x} & ; & v' (x) = - e^{- x} \end{array}$
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $[0; 5]$ : $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & (2 x + 2) \times e^{- x} + (x^{2} + 2 x) \times (- e^{- x}) \\ = & (2 x + 2 - x^{2} - 2 x) \times e^{- x} \\ = & (- x^{2} + 2) \times e^{- x} \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 5]$ par $f' (x) = (- x^{2} + 2) e^{- x}$ .

Déterminer les variations de f sur $[0; 5]$ et préciser l'abscisse de son maximum.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

Pour tout réel x, $e^{- x} > 0$ donc $f' (x)$ est du même signe que $(- x^{2} + 2)$ . Or $\begin{array}{rcl} - x^{2} + 2 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & x \in [- \sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{array}$

Nous pouvons établir le tableau du signe de $f' (x)$ et des variations de f ;

x	0		$\sqrt{2}$		5
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	0		$(2 + 2 \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}}$		$35 e^{- 5}$

Donner la valeur arrondie au millième du maximum de f.
Le maximum de la fonction f est $f (\sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} \approx 1,174$ .

Avec un outil de calcul on obtient, pour $\int_{0}^{1} f' (x) d x$ et $f (1)$ , la même valeur approchée 1,10364.
Ces deux valeurs sont-elles égales ?
La fonction f est une primitive de sa dérivée $f'$ d'où $\int_{0}^{1} f' (x) d x = f (1) - f (0) = f (1)$

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