sujet : Liban 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. On admet que :

   • Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98 ;
   • Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.

   1. À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P\left(M\right)$ ; $P_M\left(S\right)$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right)$.

      • Un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique d'où $P\left(M\right)=\mathrm{0,002}$

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      • Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98 d'où $P_M\left(S\right)=\mathrm{0,98}$

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      • Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98 d'où $P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,98}$

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   2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.

   3. Montrer que : $P\left(S\right)=\mathrm{0,02192}$.

      Les évènements M et S sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(S\right)=P\left(M\cap S\right)+P\left(\overline{M}\cap S\right)$$

      Or $$\begin{array}{llll}& P\left(M\cap S\right)=P_M\left(S\right)\times P\left(M\right)& \text{soit}& P\left(M\cap S\right)=\mathrm{0,002}\times \mathrm{0,98}=\mathrm{0,00196}\\ \text{et}& P\left(\overline{M}\cap S\right)=P_{\overline{M}}\left(S\right)\times P\left(\overline{M}\right)& \text{soit}& P\left(\overline{M}\cap S\right)=\mathrm{0,02}\times \mathrm{0,998}=\mathrm{0,01996}\end{array}$$

      On obtient alors $$P\left(S\right)=\mathrm{0,00196}+\mathrm{0,01996}=\mathrm{0,02192}$$

      La probabilité qu'un voyageur fasse sonner le portique est égale à 0,02192.

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   4. En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à ${10}^{-3}$).
      Commenter le résultat obtenu.

      $$\begin{array}{ccc}{P}_S\left(M\right)={\displaystyle \frac{P\left(M\cap S\right)}{P\left(S\right)}}& \text{Soit}& P_S\left(M\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,00196}}{\mathrm{0,02192}}}\approx \mathrm{0,089}\end{array}$$

      La probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique est d'environ 0,089.
      Quand le portique sonne, la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique est faible. Dans près de 91 % des cas où le portique sonne, le voyageur ne porte pas d'objet métallique.

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2. 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192.
   Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

   1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

      Pour chaque personne qui passe le portique, il n'y a que deux issues possibles, le portique sonne ou pas. Il s'agit donc de la répétition de 80 épreuves de Bernoulli dont la probabilité du succès est égale à 0,02192.

      X suit la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=\mathrm{0,02192}$.

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   2. Calculer l'espérance de X et interpréter le résultat.

      $E\left(X\right)=80\times \mathrm{0,02192}=\mathrm{1,7536}$. Sur l'ensemble des groupes de 80 personnes qui passent le portique de sécurité, celui-ci va sonner en moyenne pour près de deux personnes du groupe.

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   3. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à ${10}^{-3}$ de :

      • la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique ;
      • la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.

      • $P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)$ soit à l'aide de la calculatrice, $P\left(X⩾1\right)\approx \mathrm{0,830}$

      • À l'aide de la calculatrice, $P\left(X⩽5\right)\approx \mathrm{0,992}$.

      La probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est 0,83 et, la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique est 0,992.

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   4. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier n tel que $P\left(X⩽n\right)⩾\mathrm{0,9}$.

      Avec la calculatrice, on trouve $P\left(X⩽2\right)\approx \mathrm{0,744}$ et $P\left(X⩽3\right)\approx \mathrm{0,901}$.

      Le plus petit entier n tel que $P\left(X⩽n\right)⩾\mathrm{0,9}$ est $n=3$.

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