Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2018

Exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :

S l'événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
M l'événement « le voyageur porte un objet métallique ».

On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.

On admet que :
- Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98 ;
- Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.
1. À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P (M)$ ; $P_{M} (S)$ et $P_{\bar{M}} (\bar{S})$ .
2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.
3. Montrer que : $P (S) = 0,02192$ .
4. En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{- 3}$ ).
  Commenter le résultat obtenu.
80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer l'espérance de X et interpréter le résultat.
3. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{- 3}$ de :
  - la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique ;
  - la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
4. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier X tel que $P (X ⩽ n) ⩾ 0,9$ .

Exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Maya possède 20 € dans sa tirelire au 1^er juin 2018.
À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20 € supplémentaires.
Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du n-ième mois. On a $u_{0} = 20$ .

1. Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1^er mois est de 35 €.
2. Calculer $u_{2}$ .
On admet que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n} + 20$ .
On considère l'algorithme suivant :
$U \leftarrow 20$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U < 70$
$U \leftarrow 0,75 \times U + 20$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
Afficher N
1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.
  Valeur de U 20 …
  Valeur de N 0 …
  Condition $U < 70$ vrai … vrai faux
2. Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
  Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Pour tout entier n, on pose $v_{n} = u_{n} - 80$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75.
2. Préciser son premier terme $v_{0}$ .
3. En déduire que, pour tout entier n, $u_{n} = 80 - 60 \times {0,75}^{n}$ .
4. Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1^er juin 2019.
5. Déterminer la limite de la suite $(v_{n})$ .
6. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

parmi les clients de l'opérateur EfficaceRéseau, 70 % se réabonnent à ce même opérateur et 30 % souscrivent un contrat avec l'opérateur GenialPhone ;
parmi les clients de l'opérateur GenialPhone, 55 % se réabonnent à ce même opérateur et 45 % souscrivent un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

On note E l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur EfficaceRéseau » et G l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.
On note également :

$e_{n}$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau au 1^er janvier $(2018 + n)$ ;
$g_{n}$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur GenialPhone au 1^er janvier $(2018 + n)$ ;
$P_{n} = (\begin{matrix} e_{n} & g_{n} \end{matrix})$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1^er janvier $(2018 + n)$ .

Au 1^er janvier 2018, on suppose que 10 % des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets E et G.
1. Déterminer la matrice de transition M associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.
2. Vérifier qu'au 1^er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.
1. On rappelle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ .
  Exprimer $e_{n + 1}$ en fonction de $e_{n}$ et $g_{n}$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $e_{n + 1} = 0,25 e_{n} + 0,45$ .
3. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1^er janvier $(2018 + n)$ :
  $E \leftarrow 0,1$
  $G \leftarrow 0,9$
  Pour I allant de 1 à N
  $E \leftarrow \dots \times E + \dots$
  $G \leftarrow \dots$
  Fin Pour
  Afficher E et G
4. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N = 3$ . Arrondir au centième.
5. Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.

Exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1 et 2 et 3, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

$f' (4)$ est égal à :
a. 2
b. $- 1$
c. 0,5
d. 0
f est convexe sur l'intervalle :
a. $] - \infty; 0]$
b. $] - \infty; 0,5]$
c. $[0; 4]$
d. $[2; 5]$
Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de f sur l'intervalle $[0; 5]$ est :
a. $- 0,1$
b. 2,5
c. 2,9
d. 14,5
Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire X qui suit une loi normale et telle que $P (X ⩽ 649) \approx 0,1587$ .
On note respectivement μ et σ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.
a. $P (X ⩽ 651) \approx 0,6587$
b. $P (649 ⩽ X ⩽ 651) \approx 0,683$
c. $σ = 650$
d. $μ = 649$

Exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $[1; 25]$ par $f (x) = \frac{x + 2 - \ln (x)}{x}$ .
1. On admet que f est dérivable sur $[1; 25]$ .
  Démontrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[1; 25]$ , $f' (x) = \frac{- 3 + \ln (x)}{x^{2}}$ .
2. Résoudre dans $[1; 25]$ l'inéquation $- 3 + \ln (x) > 0$ .
3. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur $[1; 25]$ .
4. Démontrer que dans l'intervalle $[1; 25]$ , l'équation $f (x) = 1,5$ admet une seule solution. On notera α cette solution.
5. Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de α à l'aide de la calculatrice.
Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et 2500 pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.
On admet que lorsque x centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 ⩽ x ⩽ 25$ , le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f (x)$ euros.
En utilisant les résultats obtenus à la question 1 :
1. Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.
  Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.
2. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à 1,50 euro.
3. Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes ? Justifier.

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Valeur de U	20	…
Valeur de N	0	…
Condition $U < 70$	vrai	…	vrai	faux